试题

（2010·大连）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，∠A=∠D=30°．
（1）判断DC是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）证明：△AOC≌△DBC．

（1）解：DC是⊙O的切线．理由如下：
∵∠A=∠D=30°，
∴AC=CD，∠ACD=120°．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠OCD=90°，
∴DC是⊙O的切线．

（2）证明：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD=120°-90°=30°=∠D，
∴BC=BD．
∵∠CBO=2∠D=60°，OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，则BC=OC，
∴△AOC≌△DBC．（SSS）
（1）解：DC是⊙O的切线．理由如下：
∵∠A=∠D=30°，
∴AC=CD，∠ACD=120°．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠OCD=90°，
∴DC是⊙O的切线．

（2）证明：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD=120°-90°=30°=∠D，
∴BC=BD．
∵∠CBO=2∠D=60°，OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，则BC=OC，
∴△AOC≌△DBC．（SSS）