试题

（2011·西藏）已知，如图，点A的坐标为（2，0），⊙A交x轴于点B和C，交y轴于点D（0，4），过点D的直线与x轴交于点P，且tan∠APD=

1

2

．
（1）求证：PD是⊙A的切线；
（2）判断在直线PD上是否存在点M，使得S_△MOD=2S_△AOD？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）证明：∵A（2，0）D（0，4），
∴AO=2，OD=4，
∴在Rt△ADO中，tan∠ADO=

OA

OD

=

2

4

=

1

2

，
∵tan∠APD=

1

2

，
∴∠ADO=∠APD，
∵∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠DAO+∠APD=90°，
∴∠PDA=180°-90°=90°，
∴AD⊥PD，
∵AD是⊙A的半径，
∴PD是⊙A的切线．

（2）解：在△ADO中，OA=2，OD=4，由勾股定理得：AD=2

5

，
在Rt△PDA中，tan∠APD=

AD

PD

=

1

2

，
即PD=4

5

，
由勾股定理得：AP=

(4 5 )2+(2 5 )2

=10，
∵OA=2，
∴OP=8，
即P（-8，0），
∵D（0，4），
∴设直线PD的解析式是：y=kx+4，
把P的坐标代入得：0=-8k+4，
解得：k=

1

2

，
∴直线PD的解析式是y=

1

2

x+4，
假如存在M点，使得S_△MOD=2S_△AOD，
设M的坐标是（x，

1

2

x+4），
如图：
当M在y轴的左边时，过M作MN⊥OD于N，
∵S_△MOD=2S_△AOD，
∴

1

2

×4×（-x）=2×

1

2

×2×4，
解得：x=-4，
y=

1

2

x+4=2，
即此时M坐标是（-4，2），
当M点在y轴的右边时，同法可求M的横坐标是4，代入y=

1

2

x+4得y=6，
此时M的坐标是（4，6），
即在直线PD上存在点M，使得S_△MOD=2S_△AOD，点M的坐标是（-4，2）或（4，6）．
（1）证明：∵A（2，0）D（0，4），
∴AO=2，OD=4，
∴在Rt△ADO中，tan∠ADO=

OA

OD

=

2

4

=

1

2

，
∵tan∠APD=

1

2

，
∴∠ADO=∠APD，
∵∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠DAO+∠APD=90°，
∴∠PDA=180°-90°=90°，
∴AD⊥PD，
∵AD是⊙A的半径，
∴PD是⊙A的切线．

（2）解：在△ADO中，OA=2，OD=4，由勾股定理得：AD=2

5

，
在Rt△PDA中，tan∠APD=

AD

PD

=

1

2

，
即PD=4

5

，
由勾股定理得：AP=

(4 5 )2+(2 5 )2

=10，
∵OA=2，
∴OP=8，
即P（-8，0），
∵D（0，4），
∴设直线PD的解析式是：y=kx+4，
把P的坐标代入得：0=-8k+4，
解得：k=

1

2

，
∴直线PD的解析式是y=

1

2

x+4，
假如存在M点，使得S_△MOD=2S_△AOD，
设M的坐标是（x，

1

2

x+4），
如图：
当M在y轴的左边时，过M作MN⊥OD于N，
∵S_△MOD=2S_△AOD，
∴

1

2

×4×（-x）=2×

1

2

×2×4，
解得：x=-4，
y=

1

2

x+4=2，
即此时M坐标是（-4，2），
当M点在y轴的右边时，同法可求M的横坐标是4，代入y=

1

2

x+4得y=6，
此时M的坐标是（4，6），
即在直线PD上存在点M，使得S_△MOD=2S_△AOD，点M的坐标是（-4，2）或（4，6）．