试题

（2012·巴中）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的圆O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O半径为6cm，AE=10cm，求∠ADE的正弦值．

解：（1）CD与⊙O相切．
理由：连接OD，
∵∠AED=45°，
∴∠AOD=2∠AED=90°，
即OD⊥AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴OD⊥CD，
∵AB为直径的圆O经过点D，
∴CD与⊙O相切；

（2）过点O作OF⊥AE，连接OE，
则AF=

1

2

AE=

1

2

×10=5（cm），
∵OA=OE，
∴∠AOF=

1

2

∠AOE，
∵∠ADE=

1

2

∠AOE，
∴∠ADE=∠AOF，
在Rt△AOF中，sin∠AOF=

AF

AO

=

5

6

，
∴sin∠ADE=

5

6

．
解：（1）CD与⊙O相切．
理由：连接OD，
∵∠AED=45°，
∴∠AOD=2∠AED=90°，
即OD⊥AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴OD⊥CD，
∵AB为直径的圆O经过点D，
∴CD与⊙O相切；

（2）过点O作OF⊥AE，连接OE，
则AF=

1

2

AE=

1

2

×10=5（cm），
∵OA=OE，
∴∠AOF=

1

2

∠AOE，
∵∠ADE=

1

2

∠AOE，
∴∠ADE=∠AOF，
在Rt△AOF中，sin∠AOF=

AF

AO

=

5

6

，
∴sin∠ADE=

5

6

．