试题

如图等边△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于E点，交BC于P，PF⊥AC于F，下列结论正确的是：．
①P是BC中点；②

BP

=

PE

；③PF是⊙O的切线；④AE=EC．

解：连接AP．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB=90°（直径所对的圆周角是直角），即AP⊥BC；
又∵AB=AC，
∴点P是线段BC的中点，
故①正确；

同理，点E是线段AC的中点，
∴AE=EC，
故④正确；

∵连接PE．
点P、E分别是线段BC、AC的中点，BC=AC=AB（等边三角形的三条边相等），
∴PE=

1

2

AB（三角形中位线定理），BP=

1

2

BC=

1

2

AB，
∴BP=PE（等量代换），
∴

BP

=

PE

，
故②正确；

连接OP．
∵点P是线段BC的中点，点O是线段AB的中点，
∴OP是△ABC的中位线，
∴OP∥AC；
又∵PF⊥AC，
∴PF⊥OP，
∵点P在⊙O上，
∴PF是⊙O的切线；
故③正确．
综上所述，正确的结论有①②③④．
故答案是：①②③④．