试题

如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，交AC于E，过D点作DF⊥AC于F，有下列结论：
①DE=DC；②DF为⊙O的切线；③劣弧DB=劣弧DE；④AE=2EF
其中正确的是（　　）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④

A
解：连接OD，AD，OE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴AD⊥BC；
∵在△ABC中，AB=AC，
∴AD是边BC上的中线，
∴BD=DC，∠BAD=∠DAC，
∴BD=DE，劣弧DB=劣弧DE故①③正确；
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
即：OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切线，故②正确；
假设AE=2EF，
∵∠B=∠C，∠DEC=∠B，
∴∠C=∠DEC，
∵DF⊥AC，
∴EF=CF，
∴AE=CE，
∵AO=BO，
∴OE=

1

2

BC，
∵OE=OB，
0B=BD=OD，
∴△ODB是等边三角形，
因为题目的条件只是等腰三角形，所以AE=2EF不一定成了，
∴正确的结论有②③．
故选A．