试题

题目：
青果学院（2011·玄武区二模）已知△ABC中，BC=6，AC＞AB，点D为AC边上一点，且DC=AB=4，E为BC边的中点，连接DE，设AD=x．
（1）当DE⊥BC时（如图1），连接BD，则BD的长为
4
4
；
（2）设
S四边形ABED
S△CDE
=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）取AD的中点M，连接EM并延长交BA的延长线于点P，以A为圆心AM为半径作⊙A，试问：当AD的长改变时，点P与⊙A的位置关系变化吗？若不变化，请说明具体的位置关系，并证明你的结论；若变化，请说明理由．
答案
4

青果学院解：（1）连接BD，
∵DE⊥BC，E为BC边的中点，
∴BD=CD=4；

（2）连BD，∵点E为BC中点，
∴S△BDE=S△CDE，
∴y=
S△ABD+S△BDE
S△CDE
=
S△ABD
S△CDE
+1，
青果学院∵
S△ABD
S△DBC
=
x
4
，
∴
S△ABD
2S△CDE
=
x
4
，
即
S△ABD
S△CDE
=
x
2

∴y=
x
2
+1（0＜x＜6）；

（3）点P在⊙A上．
证明：取AC中点N，则AN=
4+x
2
，
∵M为AD中点，
∴MN=
4+x
2
-
x
2
=2，
∵E为BC中点，
∴NE∥AB，且EN=2，
∴MN=EN，
∵NE∥AB，
∴
AP
NE
=
AM
MN
，
∴AP=AM
∴点P在⊙A上．
考点梳理
点与圆的位置关系；根据实际问题列一次函数关系式；三角形的面积；线段垂直平分线的性质．
（1）利用已知条件即可得到DE是线段BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可得到BD的长；
（2）分别表示出两个三角形的面积，利用它们的面积的比即可得到函数关系式；
（3）得到AP=AM之后即可得到点与圆的位置关系．
本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
综合题．
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