试题

如图：y轴上正半轴上一点O₁为圆心的圆交两坐标轴与A、B、C、D四点，已知B（-3，0），AB=3

10

（1）求O₁的坐标；
（2）过B作BH⊥AC于H交AO于E，求S_△BDE；
（3）作⊙O₁的内接锐角△BKJ，作BM⊥KJ与M，作JN⊥BK与N，BM、JK交于H点，当锐角△BKJ的大小变化时，给出下列两个结论：①BK²+JH²的值不变；②|BK²-JH²|的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值．

解：（1）∵AD垂直平分BC，OB=3，AB=3

10

，
∴OA=9；
又∵OA·OD=OB·OC，
∴OD=1，则AD=10，
∴O₁D=5，
∴O₁的坐标为（0，4）．

（2）连接BD，如图，
∵BH⊥AC，
∴∠1=∠2，而∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴直角△OBE∽直角△OAB，
∴OB²=OE·OA，而OB=3，OA=9，
∴OE=1，则DE=2；
∴S_△BDE=

1

2

×3×2=3

（3）结论①正确．证明如下：
过B点作直径BE，连EJ，如图；
∵BE是直径，
∴∠BJE=90°，
∵BM⊥KJ，
∴∠BMK=90°；
又∵∠K=∠E，
∴△BEJ∽△KBM，
∴

BK

BE

= 

BM

BJ

，则

BK2

BE2

 = 

BM2

BJ2

；①
∵JN⊥BK，
∴∠MHJ=∠K=∠E，
∴直角△JHM∽直角△BEJ，
∴

JH

BE

 = 

JM

BJ

，则

JH2

BE2

 = 

JM2

BJ2

，②
由①，②得

BK2+ JH2

BE2

=

BM2 + JM2

BJ2

=1，而BE为直径等于10．
∴BK²+JH²=100．
解：（1）∵AD垂直平分BC，OB=3，AB=3

10

，
∴OA=9；
又∵OA·OD=OB·OC，
∴OD=1，则AD=10，
∴O₁D=5，
∴O₁的坐标为（0，4）．

（2）连接BD，如图，
∵BH⊥AC，
∴∠1=∠2，而∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴直角△OBE∽直角△OAB，
∴OB²=OE·OA，而OB=3，OA=9，
∴OE=1，则DE=2；
∴S_△BDE=

1

2

×3×2=3

（3）结论①正确．证明如下：
过B点作直径BE，连EJ，如图；
∵BE是直径，
∴∠BJE=90°，
∵BM⊥KJ，
∴∠BMK=90°；
又∵∠K=∠E，
∴△BEJ∽△KBM，
∴

BK

BE

= 

BM

BJ

，则

BK2

BE2

 = 

BM2

BJ2

；①
∵JN⊥BK，
∴∠MHJ=∠K=∠E，
∴直角△JHM∽直角△BEJ，
∴

JH

BE

 = 

JM

BJ

，则

JH2

BE2

 = 

JM2

BJ2

，②
由①，②得

BK2+ JH2

BE2

=

BM2 + JM2

BJ2

=1，而BE为直径等于10．
∴BK²+JH²=100．