试题

在锐角△ABC中，a、b、c分别表示为∠A、∠B、∠C的对边，O为其外心，则O点到三边的距离之比为（　　）
A．a：b：c
B．

1

a

：

1

b

：

1

c

C．cosA：cosB：cosC
D．sinA：sinB：sinC

C
解：如图，过A作⊙O的直径AG，连接BG，设⊙O的半径为R；
∵AG是⊙O的直径，
∴∠ABG=90°；
∵OD⊥AB，
∴OD∥BG；
又∵O是AG的中点，
∴OD是△ABG的中位线，即BG=2OD；
Rt△ABG中，∠G=∠C，
∴BG=AG·cosG=2R·cosC；
∴OD=R·cosC，即O到AB边的距离为R·cosC；
同理可证得：OE=R·cosA，OF=R·cosB；
∴点O到三边的距离之比为：（R·cosA）：（R·cosB）：（R·cosC）=cosA：cosB：cosC；
故选C．