试题

题目：
（1）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0，请你根据此条件判断这个三角形的形状，并说明理由．
（2）在△ABC中，三条边的长分别为a、b、c，且a=x2-1，b=x2+1，c=2x（x＞1，且x为整数），请你判断这个三角形的形状，并说明理由．
答案
解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0，
∴a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0，
即（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0，
∴a=3，b=4，c=5，
∵32+42=52，即a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形；

（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵a=x2-1，b=x2+1，c=2x，
∴a2+c2=（x2-1）2+（2x）2=x4-2x2+1+4x2=x4+2x2+1，
b2=（x2+1）2=x4+2x2+1，
∴a2+c2=b2，
∴△ABC为直角三角形．
解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0，
∴a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0，
即（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0，
∴a=3，b=4，c=5，
∵32+42=52，即a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形；

（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵a=x2-1，b=x2+1，c=2x，
∴a2+c2=（x2-1）2+（2x）2=x4-2x2+1+4x2=x4+2x2+1，
b2=（x2+1）2=x4+2x2+1，
∴a2+c2=b2，
∴△ABC为直角三角形．
考点梳理
勾股定理的逆定理；非负数的性质：偶次方；配方法的应用．
（1）先将已知等式利用配方法变形得到（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，再利用非负数的性质，分别求出a、b、c的值，然后利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形；
（2）先分别计算a2+c2与b2，发现a2+c2=b2，再根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形．
本题考查了配方法的应用、勾股定理的逆定理、非负数的性质，解题的关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．
找相似题