试题

题目：
观察下列各式及验证过程：
N=2时有式①：2×
2
3
=
2+
2
3
       N=3时有式②：3×
3
8
=
3+
3
8

式①验证：2×
2
3
·
=
23
3
·
=
(23-2)+2
22-1
=
2+
2
3

式②验证：3×
3
8
=
33
8
=
(33-3)+3
32-1
=
3(32-1)+3
32-1
=
3+
3
8

（1）针对上述式①、式②的规律，请写出n=4时变化的式子；
（2）请写出满足上述规律的用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并加以验证．
答案
解：（1）当n=4时，则4×
4
15
=
43
15
=
(43-4)+4
42-1
=
4(42-1)+4
42-1
=
4+
4
15
；
（2）n
n
n2-1
=
n+
n
n2-1
．证明如下：
左边=
n3
n2-1
=
(n3-n)+n
n2-1
=
n+
n
n2-1
=右边，
则等式成立．
解：（1）当n=4时，则4×
4
15
=
43
15
=
(43-4)+4
42-1
=
4(42-1)+4
42-1
=
4+
4
15
；
（2）n
n
n2-1
=
n+
n
n2-1
．证明如下：
左边=
n3
n2-1
=
(n3-n)+n
n2-1
=
n+
n
n2-1
=右边，
则等式成立．
考点梳理
二次根式的性质与化简．
（1）观察已知的等式，发现等式的左边，即根号外的数和被开方数的分子相等，被开方数的分母是分子的平方减去1；等式的右边即把根号外的移到根号内，再进一步变形；
（2）根据（1）中发现的规律运用字母表示即可．
此题主要是考查了二次根式的性质，即
a2
=|a|．
规律型．
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