试题

题目：
观察下列各式及验证过程：
1
2
-
1
3
=
1
2
2
3
，验证
1
2
-
1
3
=
1
2×3
=
2
22×3
=
1
2
2
3
；
1
2
(
1
3
-
1
4
)
=
1
3
3
8
，验证
1
2
(
1
3
-
1
4
)
=
1
2×3×4
=
3
2×32×4
=
1
3
3
8
1
3
(
1
4
-
1
5
)
=
1
4
4
15
，验证
1
3
(
1
4
-
1
5
)
=
1
3×4×5
=
4
3×42×5
=
1
4
4
15

（1）按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想
1
4
(
1
5
-
1
6
)
的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意的自然数，且n≥2）表示的等式，并给出证明．
答案
解：（1）
1
4
(
1
5
-
1
6
)
=
1
5
5
24

验证：
1
4
(
1
5
-
1
6
)
=
1
4×5×6
=
5
4×52×6
=
1
5
5
24
；
（2）
1
n-1
(
1
n
-
1
n+1
)
=
1
n
n
n2-1

验证：
1
n-1
(
1
n
-
1
n+1
)
=
1
(n-1)n(n+1)
=
n
(n-1)n2(n+1)
=
1
n
n
(n-1)(n+1)
=
1
n
n
n2-1
．
解：（1）
1
4
(
1
5
-
1
6
)
=
1
5
5
24

验证：
1
4
(
1
5
-
1
6
)
=
1
4×5×6
=
5
4×52×6
=
1
5
5
24
；
（2）
1
n-1
(
1
n
-
1
n+1
)
=
1
n
n
n2-1

验证：
1
n-1
(
1
n
-
1
n+1
)
=
1
(n-1)n(n+1)
=
n
(n-1)n2(n+1)
=
1
n
n
(n-1)(n+1)
=
1
n
n
n2-1
．
考点梳理
二次根式的性质与化简．
（1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质
a2
=a（a≥0），把根号内的移到根号外；
（2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，观察根号外的和根号内的分子、分母之间的关系可得：
1
n-1
(
1
n
-
1
n+1
)
=
1
n
n
n2-1
．
本题主要考查了二次根式的性质．此题是一个找规律的题目，观察时，既要注意观察等式的左右两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式．
阅读型；规律型．
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