试题

题目：
观察下面的运算，完成下列各题的解答．
①判断下列各式是否成立：
2+
2
3
=2
2
3
（√）
3+
3
8
=3
3
8
（√）
4+
4
15
=4
4
15
（√）
5+
5
24
=5
5
24
（√）
②根据①判断的结果，你能发现什么规律？请用含有自然数n的式子将你发现的规律表示出来，并注明n的取值范围．
③请说明你所发现式子的正确性．
答案
解：①√；√；√；√

②由2
2
3
=
2+ 
2
3
=
2+ 
2
22-1
，3 
3
8
=
3+ 
3
8
=
3+ 
3
32-1
，4 
4
15
=
4+ 
4
15
=
4+ 
4
42-1
，故根据上述规律可知n
n
n2 -1
= 
n+ 
n
n2 -1
（n≥2），

③等式n
n
n2 -1
= 
n+ 
n
n2 -1
成立，
理由：n
n
n2-1
=
n3
n2-1
=
n3-n+n
n2-1
=
n+
n
n2-1
，
故结论成立．
解：①√；√；√；√

②由2
2
3
=
2+ 
2
3
=
2+ 
2
22-1
，3 
3
8
=
3+ 
3
8
=
3+ 
3
32-1
，4 
4
15
=
4+ 
4
15
=
4+ 
4
42-1
，故根据上述规律可知n
n
n2 -1
= 
n+ 
n
n2 -1
（n≥2），

③等式n
n
n2 -1
= 
n+ 
n
n2 -1
成立，
理由：n
n
n2-1
=
n3
n2-1
=
n3-n+n
n2-1
=
n+
n
n2-1
，
故结论成立．
考点梳理
二次根式的性质与化简．
（1）计算等式左右两边是否相等，然后做出判断．
（2）由2
2
3
=
2+ 
2
3
=
2+ 
2
22-1
，3 
3
8
=
3+ 
3
8
=
3+ 
3
32-1
，4 
4
15
=
4+ 
4
15
=
4+ 
4
42-1
，故根据上述规律可知n
n
n2 -1
= 
n+ 
n
n2 -1
，
（3）把两式平方，证明左边和右边相等．
本题主要考查二次根式的化简的知识点，找出等式规律很重要．
规律型．
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