试题

题目：
观察下列等式：
1+
1
12
+
1
22
=1+1-
1
2
，
1+
1
22
+
1
32
=1+
1
2
-
1
3
，
1+
1
32
+
1
42
=1+
1
3
-
1
4
，…
（1）猜想并写出第n个等式；
（2）证明你写出的等式的正确性．
答案
解：（1）猜想：
1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=1+
1
n
-
1
n+1
；

（2）证明：∵1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=1+[
1
n
-
1
(n+1)
]2+2×
1
n(n+1)

=1+[
1
n
-
1
(n+1)
]2+2[
1
n
-
1
(n+1)
]=[1+
1
n
-
1
(n+1)
]2
∴
1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=1+
1
n
-
1
n+1
．
解：（1）猜想：
1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=1+
1
n
-
1
n+1
；

（2）证明：∵1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=1+[
1
n
-
1
(n+1)
]2+2×
1
n(n+1)

=1+[
1
n
-
1
(n+1)
]2+2[
1
n
-
1
(n+1)
]=[1+
1
n
-
1
(n+1)
]2
∴
1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=1+
1
n
-
1
n+1
．
考点梳理
二次根式的性质与化简．
（1）观察各式，即可得到规律：
1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=1+
1
n
-
1
n+1
；
（2）利用分式的加减运算法则求解，可得1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=[1+
1
n
-
1
(n+1)
]2，继而可证得结论．
此题考查了二次根式的性质与化简．此题难度适中，属于规律性题目，注意能根据题意得到规律：
1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=1+
1
n
-
1
n+1
是解此题的关键．
规律型．
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