求根式sqrt{2-sqrt{2+sqrt{2-sqrt{2+sqrt{…}}}}}的值-青果题库-青果学院

题目：

求根式

2-

2+

2-

2+

…

的值．

答案

解：设

2-

2+

2-

2+

…

=x，
则

2-

2+x

=x，
两边平方得2-

2+x

=x²，
即2-x²=

2+x

，
两边再平方得
x⁴-4x²+4=2+x，所以x⁴-4x²-x+2=0．
观察发现，当x=-1，2时，方程成立．
因此，方程左端必有因式（x+1）（x-2），将方程左端因式分解，有
（x+1）（x-2）（x²+x-1）=0．
∴x=-1，x=2，x=

-1±

5

2

；
又∵0＜x＜2，
∴x=-1，x=2，x=

-1-

5

2

应舍去，
∴x=

5

-1

2

，
即：原式=

5

-1

2

．
解：设

2-

2+

2-

2+

…