试题

题目：
试将实数
11+2(1+
5
)(1+
7
)
改写成三个正整数的算术根之和．
答案
解：设
11+2(1+
5
)(1+
7
)
=
x
+
y
+
z
（x，y，z为正整数），两边平方得
13+2
5
+2
7
+2
35
=x+y+z+2
xy
+2
yz
+ 2
zx
．
所以有x+y+z=13①；xy=5②；yz=7③；zx=35④；
由②得xyz=5z，
由③得xyz=7x，
由④得xyz=35y，
于是5z=35y=7z，即x=5y，z=7y，
代入①得y=1，x=5，z=7．
故
11+2(1+
5
)(1+
7
)
=1+
5
+
7
．
解：设
11+2(1+
5
)(1+
7
)
=
x
+
y
+
z
（x，y，z为正整数），两边平方得
13+2
5
+2
7
+2
35
=x+y+z+2
xy
+2
yz
+ 2
zx
．
所以有x+y+z=13①；xy=5②；yz=7③；zx=35④；
由②得xyz=5z，
由③得xyz=7x，
由④得xyz=35y，
于是5z=35y=7z，即x=5y，z=7y，
代入①得y=1，x=5，z=7．
故
11+2(1+
5
)(1+
7
)
=1+
5
+
7
．
考点梳理
二次根式的性质与化简．
设
11+2(1+
5
)(1+
7
)
=
x
+
y
+
z
（x，y，z为正整数），然后两边平方，利用实数的性质建立关于x，y，z的方程组，解方程组即可．
本题考查了二次根式的性质；(
a
)2=a（a≥0）．同时考查了实数的性质和方程组的解法．
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