在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点D．（1）如果∠A=60°，求证：BD=3AD；（2）如果BD=3AD，求证：∠A=60°-青果题库-青果学院

题目：

在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点D．
（1）如果∠A=60°，求证：BD=3AD；
（2）如果BD=3AD，求证：∠A=60°．

答案

证明：（1）∵∠C=90°，CD⊥AB，∠A=60°，
∴∠ACD=∠B=30°，
∵∠C=90°，CD⊥AB，
∴AB=2AC，AC=2AD，
∴AB=4AD，
∴BD=3AD．

（2）取AB的中点O，连接CO，
∵BD=3AD，
∴设AD=x，则BD=3x，AB=4x，
∵∠C=90°，O是AB的中点，
∴OC=OA=2x，
∴OD=x=

1

2

CO，
∵CD⊥AB，
∴∠OCD=30°，
∴∠COD=60°，
∵OA=OC，
∴△ACO是等边三角形，
∴∠A=60°．
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证明：（1）∵∠C=90°，CD⊥AB，∠A=60°，
∴∠ACD=∠B=30°，
∵∠C=90°，CD⊥AB，
∴AB=2AC，AC=2AD，
∴AB=4AD，
∴BD=3AD．

（2）取AB的中点O，连接CO，
∵BD=3AD，
∴设AD=x，则BD=3x，AB=4x，
∵∠C=90°，O是AB的中点，
∴OC=OA=2x，
∴OD=x=

1

2

CO，
∵CD⊥AB，
∴∠OCD=30°，
∴∠COD=60°，
∵OA=OC，
∴△ACO是等边三角形，
∴∠A=60°．

考点梳理

含30度角的直角三角形；等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．

试题