试题

（2012·门头沟区一模）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E为AB的中点，过点E作ED⊥BC于D，F在DE的延长线上，且AF=CE，若AB=6，AC=2，求四边形ACEF的面积．

解：过点E作EH⊥AC于H．
∵∠ACB=90°，AE=BE，
∴AE=BE=CE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
∴∠EAC=∠ECA（等边对等角）．
∵AF=CE（已知），
∴AE=AF（等量代换），
∴∠F=∠FEA（等边对等角）．
∵ED⊥BC（已知），
∴∠BDF=90°，BD=DC．
∴∠BDF=∠ACB=90°．
∴FD∥AC，∴∠FEA=∠EAC．
∴∠F=∠ECA．
∵AE=EA，
∴△AEF≌△EAC，∴EF=AC，
∴四边形FACE是平行四边形；
∵EH⊥AC，∴∠EHA=90°．
∵∠BCA=90°，∠EHA=∠BCA．
∴BC=4

2

，EH∥BC．
∴AH=HC．
∴EH=

1

2

BC=2

2

，
∴S_{平行四边形ACEF}=AC×EH=2×2

2

=4

2

．
解：过点E作EH⊥AC于H．
∵∠ACB=90°，AE=BE，
∴AE=BE=CE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
∴∠EAC=∠ECA（等边对等角）．
∵AF=CE（已知），
∴AE=AF（等量代换），
∴∠F=∠FEA（等边对等角）．
∵ED⊥BC（已知），
∴∠BDF=90°，BD=DC．
∴∠BDF=∠ACB=90°．
∴FD∥AC，∴∠FEA=∠EAC．
∴∠F=∠ECA．
∵AE=EA，
∴△AEF≌△EAC，∴EF=AC，
∴四边形FACE是平行四边形；
∵EH⊥AC，∴∠EHA=90°．
∵∠BCA=90°，∠EHA=∠BCA．
∴BC=4

2

，EH∥BC．
∴AH=HC．
∴EH=

1

2

BC=2

2

，
∴S_{平行四边形ACEF}=AC×EH=2×2

2

=4

2

．