试题

题目：
青果学院（1999·上海）已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，AM=AN，MN∥AC．
求证：MN=AC．
答案
青果学院证明：如图，连接CM，（1分）
∵∠ACB=90°，
∴CM=AM=
1
2
AB，
∴∠MAC=∠MCA，（1分）
∵AM=AN，∴∠AMN=∠N，（1分）
∵MN∥AC，
∴∠NMA=∠MAC，∠CAN+∠N=180°，
∴∠CAN+∠MCA=180°，
∴AN∥CM，（2分）
∴四边形ACMN是平行四边形（1分）
∴MN=AC．（1分）
青果学院证明：如图，连接CM，（1分）
∵∠ACB=90°，
∴CM=AM=
1
2
AB，
∴∠MAC=∠MCA，（1分）
∵AM=AN，∴∠AMN=∠N，（1分）
∵MN∥AC，
∴∠NMA=∠MAC，∠CAN+∠N=180°，
∴∠CAN+∠MCA=180°，
∴AN∥CM，（2分）
∴四边形ACMN是平行四边形（1分）
∴MN=AC．（1分）
考点梳理
平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
已知MN∥AC，若MN=AC，则四边形ACMN是平行四边形，因此证四边形ACMN是平行四边形即可，再连接CM，则CM是Rt△ABC斜边上的中线，得CM=MA=AN，然后通过证AN∥CM来得出四边形ANMC是平行四边形，由此得证．
此题主要考查了直角三角形的性质以及平行四边形的性质和判定，要学会作合适的辅助线来帮助解题．
证明题．
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