试题

题目：
青果学院如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）设AC和DE交于点M，若AD=6，BD=8，求ED与AM的长．
答案
（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴AC=BC，EC=CD，∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中
AC=BC
∠ACE=∠BCD
CE=CD
，
∴△ACE≌△BCD．

（2）解：∵△ACE≌△BCD，
∴AE=BD=8，∠EAC=∠B，
∵∠B+∠BAC=180°-90°=90°，
∴∠EAC+∠BAC=90°，
即∠EAB=90°，
在Rt△EAD中，由勾股定理得：DE=
62+82
=10，青果学院
过C作CN⊥ED于N，过A作AG⊥DE于G，
∴AG∥CN，
在△AED中，由三角形的面积公式得：AE×AD=DE×AG，
∴AG=
6×8
10
=
24
5
，
在Rt△CED中，CE=CD，∠ECD=90°，CN⊥DE，
∴EN=DN=
1
2
DE=5，
在△DGA中，由勾股定理得：DG=
AD2-AG2
=
18
5
，
∴NG=5-
18
5
=
7
5
，
∵AG∥CN，
∴
GM
MN
=
AG
CN
=
24
5
5
=
24
25
，
∴
MG
7
5
-MG
=
24
25
，
∴MG=
24
35
，
在Rt△AGM中，由勾股定理得：AM=
AG2+GM2
=
(
24
5
)2+(
24
35
)2
=
24
7
2
，即AM=
24
7
2
．
（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴AC=BC，EC=CD，∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中
AC=BC
∠ACE=∠BCD
CE=CD
，
∴△ACE≌△BCD．

（2）解：∵△ACE≌△BCD，
∴AE=BD=8，∠EAC=∠B，
∵∠B+∠BAC=180°-90°=90°，
∴∠EAC+∠BAC=90°，
即∠EAB=90°，
在Rt△EAD中，由勾股定理得：DE=
62+82
=10，青果学院
过C作CN⊥ED于N，过A作AG⊥DE于G，
∴AG∥CN，
在△AED中，由三角形的面积公式得：AE×AD=DE×AG，
∴AG=
6×8
10
=
24
5
，
在Rt△CED中，CE=CD，∠ECD=90°，CN⊥DE，
∴EN=DN=
1
2
DE=5，
在△DGA中，由勾股定理得：DG=
AD2-AG2
=
18
5
，
∴NG=5-
18
5
=
7
5
，
∵AG∥CN，
∴
GM
MN
=
AG
CN
=
24
5
5
=
24
25
，
∴
MG
7
5
-MG
=
24
25
，
∴MG=
24
35
，
在Rt△AGM中，由勾股定理得：AM=
AG2+GM2
=
(
24
5
)2+(
24
35
)2
=
24
7
2
，即AM=
24
7
2
．
考点梳理
等腰直角三角形；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
（1）根据等腰直角三角形性质求出AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠DCE=90°，求出∠ACE=∠BCD，根据SAS证出即可；
（2）根据全等求出AE=BD=8，∠EAC=∠B，求出∠EAD=90°，根据勾股定理求出DE即可；过C作CN⊥ED于N，过A作AG⊥DE于G，根据三角形的面积公式求出AG，根据直角三角形性质求出DN，求出NG、CN，根据AG∥CN得出比例式，求出MG，在△AGM中，根据勾股定理求出AM即可．
本题考查了等腰三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定等知识点的运用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，题目比较典型，有一定的难度．
证明题；几何综合题．
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