试题

（1）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=

1

2

BC．求证：∠BAC=90°．
（2）此题实际上是直角三角形的另一个判断定理，请你适当的方法表达出来．
（3）直接运用这个结论解答下面问题：在△ABC中，AD是BC边上的中线，BC=2，AD=1，AB+AC=1+

3

，求△ABC的面积．

（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∵AD=

1

2

BC，
∴AD=BD=DC，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∵∠B+∠BAD+∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
即∠BAC=90°；

（2）解：根据题意用语言表述为：如果三角形一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；

（3）∵AD是BC边上的中线，BC=2，AD=1，
∴∠BAC=90°，
由勾股定理得，AB²+AC²=BC²=2²=4，
∵AB+AC=1+

3

，
∴AB²+2AB·AC+AC²=（1+

3

）²=4+2

3

，
∴AB·AC=

3

，
S_△ABC=

1

2

AB·AC=

3

2

．
（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∵AD=

1

2

BC，
∴AD=BD=DC，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∵∠B+∠BAD+∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
即∠BAC=90°；

（2）解：根据题意用语言表述为：如果三角形一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；

（3）∵AD是BC边上的中线，BC=2，AD=1，
∴∠BAC=90°，
由勾股定理得，AB²+AC²=BC²=2²=4，
∵AB+AC=1+

3

，
∴AB²+2AB·AC+AC²=（1+

3

）²=4+2

3

，
∴AB·AC=

3

，
S_△ABC=

1

2

AB·AC=

3

2

．