试题

题目：
青果学院如图，已知边长为2的正三角形ABC，两顶点A，B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC长的最大值是
3
+1
3
+1
．
答案
3
+1

青果学院解：如图，取AB的中点D，连接OD、CD，
∵正三角形ABC的边长为2，
∴OD=
1
2
×2=1，CD=
3
2
×2=
3
，
在△ODC中，OD+CD＞OC，
∴当O、D、C三点共线时OC最长，最大值为
1
2
×2+
3
2
×2=
3
+1．
故答案为：
3
+1．
考点梳理
等边三角形的性质；三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线．
取AB的中点D，连接OD、CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OD的长度，再根据等边三角形的性质求出CD的长，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD+CD＞OC，判定当O、D、C三点共线时OC最长，然后求解即可．
本题考查的是等边三角形的性质，三角形的三边关系，根据题意作出辅助线，判定出O、D、C三点共线时OC最长是解题的关键．
压轴题；探究型．
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