试题

如图，D为△ABC中线AM的中点，过M作AB、AC边的垂线，垂足分别为P、Q，过P、Q分别作DP、DQ的垂线交于点N．
（1）求证：PN=QN；
（2）求证：MN⊥BC．

证明：（1）连接DN
∵D为△ABC中线AM的中点
∴AD=MD，MB=CM
∵MP⊥AB，MQ⊥AC
∴∠APM=∠AQM=90°
∴△APM、△AMQ是直角三角形
∴PD=

1

2

AM，QD=

1

2

AM
∴PD=QD
∴Rt△DPN≌Rt△DQN（HL）
∴NP=PQ；

（2）取BM、CM的中点S、T，连接SP、SN、TQ、TN
∴SP=

1

2

BM=

1

2

MC=TQ
∴∠SPN=90°-∠BPS-∠NPM=90°-∠B-∠DPA=90°-∠B-∠BAM=90°-∠AMC=90°-∠DMQ-∠QMT=90°-∠DQM-∠MQT=∠TQN
∴△SPN≌△TQN
∴SN=TN
∵SM=TM
∴NM⊥BC
证明：（1）连接DN
∵D为△ABC中线AM的中点
∴AD=MD，MB=CM
∵MP⊥AB，MQ⊥AC
∴∠APM=∠AQM=90°
∴△APM、△AMQ是直角三角形
∴PD=

1

2

AM，QD=

1

2

AM
∴PD=QD
∴Rt△DPN≌Rt△DQN（HL）
∴NP=PQ；

（2）取BM、CM的中点S、T，连接SP、SN、TQ、TN
∴SP=

1

2

BM=

1

2

MC=TQ
∴∠SPN=90°-∠BPS-∠NPM=90°-∠B-∠DPA=90°-∠B-∠BAM=90°-∠AMC=90°-∠DMQ-∠QMT=90°-∠DQM-∠MQT=∠TQN
∴△SPN≌△TQN
∴SN=TN
∵SM=TM
∴NM⊥BC