试题

题目：
青果学院（2011·北京二模）如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是
1+
3
1+
3
；
若将△ABP的PA边长改为2
2
，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为
1+
5
1+
5
．
答案
1+
3

1+
5

青果学院解：取AB的中点M，连OM，PM，
在Rt△ABO中，OM=
AB
2
=1，在等边三角形ABP中，PM=
3
，
无论△ABP如何运动，OM和PM的大小不变，当OM，PM在一直线上时，P距O最远，
∵O到AB的最大值是
1
2
AB=1，
此时在斜边的中点M上，
由勾股定理得：PM=
22-12
=
3
，
∴OP=1+
3
，
将△AOP的PA边长改为2
2
，另两边长度不变，
∵22+22=(2
2
)2，
∴∠PBA=90°，由勾股定理得：PM=
12+22
=
5
，
∴此时OP=OM+PM=1+
5
．
故答案为：1+
3
，1+
5
．
考点梳理
直角三角形斜边上的中线；坐标与图形性质；三角形三边关系；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理．
根据当O到AB的距离最大时，OP的值最大，得到O到AB的最大值是
1
2
AB=1，此时在斜边的中点M上，由勾股定理求出PM，即可求出答案；将△ABP的PA边长改为2
2
，另两边长度不变，根据22+22=(2
2
)2，得到∠PBA=90°，由勾股定理求出PM即可
本题主要考查对直角三角形斜边上的中线性质，坐标与图形性质，三角形的三边关系，勾股定理的逆定理等边三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据理解题意求出PD的值是解此题的关键．
计算题；压轴题．
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