试题

题目：
青果学院如图，已知·ABCD的对角线AC、BD交于O，且∠1=∠2．
（1）求证：·ABCD是菱形；
（2）F为AD上一点，连结BF交AC于E，且AE=AF，求证：AO=
1
2
（AF+AB）．
答案
解：（1）证明：∵·ABCD中，AD∥BC，
∴∠2=∠ACB，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠ACB
∴AB=BC，
∴·ABCD是菱形；

（2）∵·ABCD中，AD∥BC，
∴∠AFE=∠EBC，
又∵AF=AE，
∴∠AFE=∠AEF=∠BEC，
∴∠EBC=∠BEC，
∴BC=CE，
∴AC=AE+CE=AF+BC=2OA，
∴OA=
1
2
（AF+BC），
又∵AB=BC，
∴OA=
1
2
（AF+AB）．
解：（1）证明：∵·ABCD中，AD∥BC，
∴∠2=∠ACB，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠ACB
∴AB=BC，
∴·ABCD是菱形；

（2）∵·ABCD中，AD∥BC，
∴∠AFE=∠EBC，
又∵AF=AE，
∴∠AFE=∠AEF=∠BEC，
∴∠EBC=∠BEC，
∴BC=CE，
∴AC=AE+CE=AF+BC=2OA，
∴OA=
1
2
（AF+BC），
又∵AB=BC，
∴OA=
1
2
（AF+AB）．
考点梳理
菱形的判定与性质；平行四边形的性质．
（1）利用平行线的性质以及等角对等边即可证得AB=BC，则依据菱形的定义即可判断；
（2）首先证明△BCE是等腰三角形，然后依据平行四边形的对角线互相平分即可证得．
本题考查了菱形的定义，以及等腰三角形的性质及判定方法，正确证明△BCE是等腰三角形是关键．
证明题．
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