试题

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC分别与AB、AC交于点G、F，连接CG．
（1）求证：四边形BCGD是菱形；
（2）若BC=1，求DF的长．

（1）证明：∵DF∥BC，∠ACB=90°，
∴∠CFD=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠AEC=90°．
在Rt△AEC和Rt△DFC中，∠AEC=∠CFD=90°，∠ACE=∠DCF，DC=AC，
∴Rt△AEC≌Rt△DFC．
∴CE=CF．
∴DE=AF．
而∠AGF=∠DGE，∠AFG=∠DEG=90°，
∴Rt△AFG≌Rt△DEG．
∴GF=GE；

（2）解：∵CD⊥AB，∠A=30°，
∴CE=

1

2

AC=

1

2

CD，
∴CE=ED．
∴BC=BD=1．
又∵∠ECB+∠ACE=90°，∠A+∠ACE=90°，
∴∠ECB=∠A=30°，∠CEB=90°，
∴BE=

1

2

BC=

1

2

BD=

1

2

，
在直角三角形ABC中，∠A=30°，
则AB=2BC=2．
则AE=AB-BE=

3

2

，
∵Rt△AEC≌Rt△DFC，
∴DF=AE=

3

2

．
（1）证明：∵DF∥BC，∠ACB=90°，
∴∠CFD=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠AEC=90°．
在Rt△AEC和Rt△DFC中，∠AEC=∠CFD=90°，∠ACE=∠DCF，DC=AC，
∴Rt△AEC≌Rt△DFC．
∴CE=CF．
∴DE=AF．
而∠AGF=∠DGE，∠AFG=∠DEG=90°，
∴Rt△AFG≌Rt△DEG．
∴GF=GE；

（2）解：∵CD⊥AB，∠A=30°，
∴CE=

1

2

AC=

1

2

CD，
∴CE=ED．
∴BC=BD=1．
又∵∠ECB+∠ACE=90°，∠A+∠ACE=90°，
∴∠ECB=∠A=30°，∠CEB=90°，
∴BE=

1

2

BC=

1

2

BD=

1

2

，
在直角三角形ABC中，∠A=30°，
则AB=2BC=2．
则AE=AB-BE=

3

2

，
∵Rt△AEC≌Rt△DFC，
∴DF=AE=

3

2

．