试题

（2012·西城区模拟）我们在几何的学习中能发现，很多图形的性质定理与判定定理之间有着一定的联系．例如：菱形的性质定理“菱形的对角线互相垂直”和菱形的判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”就是这样．但是课本中对菱形的另外一个性质“菱形的对角线平分一组对角”却没有给出类似的判定定理，请你利用如图所示图形研究一下这个问题．
要求：如果有类似的判定定理，请写出已知、求证并证明．如果没有，请举出反例．

答：有判定定理．
已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB和∠DCB
求证：四边形ABCD是菱形，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵∠ACB=∠ACD，
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=DC，
∴四边形ABCD是菱形．
答：有判定定理．
已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB和∠DCB
求证：四边形ABCD是菱形，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵∠ACB=∠ACD，
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=DC，
∴四边形ABCD是菱形．