王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n2345…a22-132-142-152…b46810…c22+132+142+152+1…（1）请你分别观察a，b，c与n之间的...-青果题库-青果学院

题目：

王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：

n	2	3	4	5	…
a	2²-1	3²-1	4²-1	5²	…
b	4	6	8	10	…
c	2²+1	3²+1	4²+1	5²+1	…

（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a=

n²-1

，b=

2n

，c=

n²+1

．
（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？
（3）观察下列勾股数3²+4²=5²，5²+12²=13²，7²+24²=25²，9²+40²=41²，分析其中的规律，根据规律写出第五组勾股数．

答案

n²-1

2n

n²+1

解：（1）由图表可以得出：
∵n=2时，a=2²-1，b=4，c=2²+1，
n=3时，a=3²-1，b=2×3，c=3²+1，
n=4时，a=4²-1，b=2×4，c=4²+1，
…
∴a=n²-1，b=2n，c=n²+1．

（2）a、b、c为边的三角形时：
∵a²+b²=（n²-1）²+4n²=n⁴+2n²+1，
c²=（n²+1）²=n⁴+2n²+1，
∴a²+b²=c²，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．

（3）由分析得出：第7组的式子为：11²+60²=61²．

考点梳理

勾股数；勾股定理的逆定理．

试题