试题

题目：
青果学院如图，过边长为2的等边△ABC的边AB上点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE长为
1
1
．
答案
1

青果学院解：过P做BC的平行线至AC于F，
∴∠Q=∠FPD，
∵等边△ABC，
∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，
∴△APF是等边三角形，∴AP=PF，AP=CQ，
∵AP=CQ，
∴PF=CQ，
∵在△PFD和△QCD中，
∠FPD=∠Q
∠PDF=∠QDC
PF=CQ
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，∴AE=EF，
∴AE+DC=EF+FD，
∴ED=
1
2
AC，∵AC=2，
∴DE=1．
故答案为1．
考点梳理
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．
过P做BC的平行线至AC于F，通过求证△PFD和△QCD全等，推出FD=CD，再通过证明△APF是等边三角形和PE⊥AC，推出AE=EF，即可推出AE+DC=EF+FD，可得ED=
1
2
AC，即可推出ED的长度．
本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，熟练运用相关的性质、定理，认真地进行计算．
压轴题．
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