试题

如图，△ABC是等边三角形，D为AB边上的一个动点，DE∥BC，延长BC到F，使CF=AD，连接DF交AC于P．
（1）求证：EP=CP；
（2）若△ABC的边长为a，CF长为b，且a、b满足(a-5)2+

b-3

=0，求CP长；
（3）若△ABC的边长为5，设CF=x，CP=y，求y与x间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠AED=60°=∠A，
即△ADE是等边三角形，
∴DE=AE=AD，
∵CF=AD，
∴DE=CF，
∵DE∥BC，
∴∠DEP=∠FCP，
在△DEP和△FCP中

∠EPD=∠FPC ∠DEP= DE=CF

∴△DEP≌△FCP（AAS），
∴EP=CP．

（2）解：∵(a-5)2+

b-3

=0，
∴a-5=0，b-3=0，
a=5，b=3，
即AC=BC=AB=5，CF=AE=DE=3，
∴CP=EP=

1

2

（5-3）=1．

（3）解：∵△ABC的边长为5，CF=x，CP=y，
∴AE=CF=x，CP=EP=y，
y与x间的函数关系是：y=

1

2

（5-x）
y=-

1

2

x+

5

2

（0≤x＜5）．
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠AED=60°=∠A，
即△ADE是等边三角形，
∴DE=AE=AD，
∵CF=AD，
∴DE=CF，
∵DE∥BC，
∴∠DEP=∠FCP，
在△DEP和△FCP中

∠EPD=∠FPC ∠DEP= DE=CF

∴△DEP≌△FCP（AAS），
∴EP=CP．

（2）解：∵(a-5)2+

b-3

=0，
∴a-5=0，b-3=0，
a=5，b=3，
即AC=BC=AB=5，CF=AE=DE=3，
∴CP=EP=

1

2

（5-3）=1．

（3）解：∵△ABC的边长为5，CF=x，CP=y，
∴AE=CF=x，CP=EP=y，
y与x间的函数关系是：y=

1

2

（5-x）
y=-

1

2

x+

5

2

（0≤x＜5）．