试题

如图1，已知点P是线段AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．
（1）求证：△APD≌△CPB．
（2）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于90°），这种情况“△APD≌△CPB”的结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图1，设∠AQC=α，求α的度数．

（1）证明：如图1，∵△APC、△BDP是等边三角形，
∴PA=PC，PD=PB，∠APC=∠BPD=60°，
∴∠APD=∠CPB，
∴在△APD与△CPB中，

PA=PC ∠APD=∠CPB PD=PB

，
∴△APD≌△CPB（SAS）；

（2）成立．理由如下：
如图2，∵△APC、△BDP是等边三角形，
∴PA=PC，PD=PB，∠APC=∠BPD=60°，
∴∠APD=∠CPB，
∴在△APD与△CPB中，

PA=PC ∠APD=∠CPB PD=PB

，
∴△APD≌△CPB（SAS）；

（3）由（1）知，△APD≌△CPB，
∴∠PAD=∠PCB，
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠AQC=180°-120°=60°，即α=60°．
（1）证明：如图1，∵△APC、△BDP是等边三角形，
∴PA=PC，PD=PB，∠APC=∠BPD=60°，
∴∠APD=∠CPB，
∴在△APD与△CPB中，

PA=PC ∠APD=∠CPB PD=PB

，
∴△APD≌△CPB（SAS）；

（2）成立．理由如下：
如图2，∵△APC、△BDP是等边三角形，
∴PA=PC，PD=PB，∠APC=∠BPD=60°，
∴∠APD=∠CPB，
∴在△APD与△CPB中，

PA=PC ∠APD=∠CPB PD=PB

，
∴△APD≌△CPB（SAS）；

（3）由（1）知，△APD≌△CPB，
∴∠PAD=∠PCB，
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠AQC=180°-120°=60°，即α=60°．