试题

如图：△ABC是等边三角形
（1）若AD=BE=CF，求证△DEF是等边三角形．
（2）请问（1）的逆命题成立吗？若成立，请证明，若不成立，请用反例说明

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=AB=BC，
∵AD=BE=CF，
∴AC-CF=BC-BE=AB-AD，
∴EC=AF=BD，
∴在△ADF，△BED，△CFE中，

AD=BE=CF ∠A=∠B=∠C EC=AF=BD

，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=DE=EF，
∴△DEF是等边三角形，

（2）解：（1）的逆命题成立，
已知：△DEF是等边三角形，求证：AD=BE=CF．
证明：∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF=∠EFD=∠DEF=60°，DF=EF=DE，
∵等边三角形ABC，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴∠ADF+∠AFD=120°，∠ADF+∠BDE=120°，∠BDE+∠DEB=120°，∠AFD+∠EFC=120°，
∴∠ADF=∠DEB=∠EFC，
在△ADF，△BED，△CFE中，
∵

DF=ED=FE ∠A=∠B=∠C ∠ADF=∠BED=∠CFE

，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（AAS），
∴AD=BE=CF．
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=AB=BC，
∵AD=BE=CF，
∴AC-CF=BC-BE=AB-AD，
∴EC=AF=BD，
∴在△ADF，△BED，△CFE中，

AD=BE=CF ∠A=∠B=∠C EC=AF=BD

，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=DE=EF，
∴△DEF是等边三角形，

（2）解：（1）的逆命题成立，
已知：△DEF是等边三角形，求证：AD=BE=CF．
证明：∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF=∠EFD=∠DEF=60°，DF=EF=DE，
∵等边三角形ABC，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴∠ADF+∠AFD=120°，∠ADF+∠BDE=120°，∠BDE+∠DEB=120°，∠AFD+∠EFC=120°，
∴∠ADF=∠DEB=∠EFC，
在△ADF，△BED，△CFE中，
∵

DF=ED=FE ∠A=∠B=∠C ∠ADF=∠BED=∠CFE

，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（AAS），
∴AD=BE=CF．