试题

题目：
△ABC中，AD是△BAC的角平分线，且有
1
AD
=
1
AB
+
1
AC
，求∠BAC的度数．
答案
青果学院解：如图，作BE∥AD交CA延长线于E，
由
1
AD
=
1
AB
+
1
AC
=
AB+AC
AB·AC
得：
AB+AC=
AB·AC
AD
①
由
BD
DC
=
AB
AC
得：
BD
DC
=
AB+AC
AC
②
由①②得
BC
DC
=
AB·AC
AD·AC
=
AB
AD
而
BC
DC
=
BE
AD
，
所以BE=AB，所以∠2=∠E，
由AD∥BE，所以∠3=∠4，∠1=∠E，
因为AD平分∠BAC，所以∠1=∠4，
所以∠1=∠2=∠3=∠E，
所以△ABE为等边三角形，
所以∠BAC=180°-∠BAE=180°-60°=120°．
青果学院解：如图，作BE∥AD交CA延长线于E，
由
1
AD
=
1
AB
+
1
AC
=
AB+AC
AB·AC
得：
AB+AC=
AB·AC
AD
①
由
BD
DC
=
AB
AC
得：
BD
DC
=
AB+AC
AC
②
由①②得
BC
DC
=
AB·AC
AD·AC
=
AB
AD
而
BC
DC
=
BE
AD
，
所以BE=AB，所以∠2=∠E，
由AD∥BE，所以∠3=∠4，∠1=∠E，
因为AD平分∠BAC，所以∠1=∠4，
所以∠1=∠2=∠3=∠E，
所以△ABE为等边三角形，
所以∠BAC=180°-∠BAE=180°-60°=120°．
考点梳理
角平分线的定义；平行线的性质；等边三角形的性质．
由
1
AD
=
1
AB
+
1
AC
得BE=AB，所以∠2=∠E；作BE∥AD交CA延长线于E，则AD∥BE，又AD是△BAC的角平分线，所以∠1=∠2=∠3=∠E，所以∠BAC=180°-∠BAE=180°-60°=120°．
本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，还要熟练掌握借助辅助线来解题的方法．
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