试题

如图，F是等边△ABC的边AC的中点，D在边BC上，△DFE是等边三角形，ED的延长线交AB于H，则下列结论：①∠AHD+∠AFD=180°，②AF=

1

2

BC，③CF+CE=CD，④

BH

BD

为定值，其中正确的是（　　）
A．①③
B．②③
C．①②③
D．①②④

C
解：①∵△ABC，△DFE是等边三角形，
∴∠A=60°，∠FDE=60°，
∴∠HDF=120°，
∴∠AHD+∠AFD=360°-（120°+60°）=180°，故①正确；
②∵F是等边△ABC的边AC的中点，
∴AF=

1

2

AC=

1

2

BC，故②正确；
③在BC上截取CG=CF，连接FG．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴△FCG是等边三角形，
∴FG=FC，∠GFC=60°，
∵△DFE是等边三角形，
∴FD=FE，∠DFE=60°，
∴∠DFG=∠EFC，
在△DFG与△EFC中，

FD=FE ∠DFG=∠EFC FG=FC

，
∴△DFG≌△EFC．
∴DG=EC，
CF+CE=CD，故③正确；
④无法确定∠AHD的度数，

BH

BD

不为定值，故④错误．
故选C．