试题

如图，等边△ABC中，D为BC边中点，CP是BC的延长线．按下列要求作图并回答问题：（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（1）作∠ACP的平分线CF；
（2）作∠ADE=60°，且DE交CF于点E；
（3）在（1），（2）的条件下，可判断AD与DE的数量关系是；
请说明理由．

解：（1）尺规作图，如图
（2）尺规作图，如图； 
（3）AD=DE．
理由如下：
解法一：如图，连接AE，
∵等边△ABC中，D为BC边中点，
∴BD=DC，∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B=∠ADE=60°，
∴∠BAD=∠EDC=30°，
∵∠ACP=120°，CE为∠ACP的平分线，
∴∠ACE=∠ECP=60°，
∴∠DEC=∠ECP-∠EDC=30°，
∴∠DEC=∠EDC=30°，
∴CE=CD=BD．                                 
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠B=∠ACE=60° DB=CE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE．
又∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE．                             
解法二：如图，过点D作DM∥AC交AB于点P，
∵△ABC是等边三角形，
∴△BDM为等边三角形，BM=BD，∠BMD=∠BDM=60°．
∵AB=BC，
∴AB-BM=BC-BD，即AM=CD．
∵∠ADC为△ABD的外角，
∴∠ADC=∠BAD+∠B，
而∠ADC=∠EDC+∠ADE，
∠B=∠ADE=60°，
∴∠BAD=∠EDC．
∵∠ACP=120°，CE为∠ACP的平分线，
∴∠ACE=60°，
∴∠DCE=∠ACD+∠ACE=120°，
∴∠AMD=∠DCE=120°．
在△ADM和△DEC中，

∠DAM=∠EDC AM=DC ∠AMD=∠DCE

，
∴△ADM≌△DEC（ASA），
∴AD=DE．