数学

（2007·崇明县二模）如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8：
（1）此抛物线的解析式；
（2）如图2，若点P为所求抛物线上的一动点，试判断以点P为圆心，PB为半径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．
（3）如图2，设点P在抛物线上且与点A不重合，直线PB与抛物线的另一个交点为Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M，连接PO、QO．求证：△QMO∽△PNO．

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（2007·大连一模）已知点E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）为抛物线y=ax²+bx+c上的两点，过点E、F分别作x轴的垂线，分别交x轴于点B、D，交直线y=2ax+b于点A、C，设S为直线AB、CD与x轴、直线y=2ax+b所围成图形的面积．
（1）当a=1，b=-2，c=3时，计算：①当x₁=3，x₂=5时，求y₁、y₂、S；②当x₁=-2，x₂=-1时，求y₁、y₂、S；通过以上的计算，猜想S与y₁-y₂的数量关系；
（2）当抛物线y=ax²+bx+c在x轴上方，且点E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）在抛物线y=ax²+bx+c的对称轴的同侧（点E在点F的左侧）时（如图1），（1）中的结论是否仍然成立？请说明你的判断．
（3）如果将（2）中的“同侧”改为“异侧”（如图2），其他条件不变，并设M为直线y=2ax+b与x轴的交点，S₁=S_△AMB，S₂=S_△CMD，求S₁、S₂与y₁、y₂的数量关系（直接写出答案）．

（2007·虹口区二模）如图，二次函数y=-

x-4的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，

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连接AC．
（1）求证：△AOC∽△COB．
（2）过点C作CD∥x轴交二次函数y=-

x-4的图象于点D，若点M在线段AB上以每秒1个单位的速度由A向B运动，同时点N在线段CD上也以每秒1个单位的速度由点D向点C运动，连接线段MN，设运动时间为t秒．（0＜t≤6）
①是否存在时刻t，使MN=AC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
②是否存在时刻t，使MN⊥BC？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

（2007·怀柔区二模）已知二次函数y=4x²+bx+

（b²+b），b取任何实数时，它的图象都是一条抛物线．
（1）现在有如下两种说法：
①b取任何不同的数值时，所对应的抛物线都有着完全相同的形状；
②b取任何不同的数值时，所对应的抛物线都有着不相同的形状．
你认为哪一种说法正确，为什么？
（2）若b=-1，b=2时对应的抛物线的顶点分别为A，B，请你求出直线AB的解析式；
（3）在（2）中所确定的直线AB上有一点C，且点C的纵坐标为-1，问：在x轴上是否存在点D使△COD为等腰三角形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，简单说明理由．

（2007·闵行区二模）已知：二次函数y=x²-4x+m的图象与x轴交于不同的两点A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），其顶点是点C，对称轴与x轴的交于点D．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果（x₁+1）（x₂+1）=8，求二次函数的解析式；
（3）把（2）中所得的二次函数的图象沿y轴上下平移，如果平移后的函数图象与x轴交于点A₁、B₁，顶点为点C₁，且△A₁B₁C₁是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式．

（2008·崇文区一模）已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，直线y=kx+3与该二次函数的图象交于D、B两点，其中点D在y轴上，点B的坐标为（3，0）．
（1）求k的值和这个二次函数的解析式．
（2）设抛物线的顶点为C，点F为线段DB上一点，且使得∠DCF=∠ODB，求出此时点F的坐标．
（3）在（2）的条件下，若点P为直线DB上的一个动点，过点P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E．问：是否存在这样的点P，使得以点P、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

（2008·丰泽区质检）已知：抛物线y=-x²+（k+1）x+2k+1经过点A（0，3）．
（1）求k的值；
（2）设抛物线交x轴于B、C两点（B在C右边），点P（m，n）是抛物线上的一个动点，且位于直线AB上方，设△PAB的面积为s，试写出s关于x的函数关系式，并求出s的最大值；
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于E、F两点，若以EF为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径．

已知：如图，抛物线y=

x2-3x+c交x轴正半轴于A、B两点，交y轴于C点，过A、

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B、C三点作⊙D．若⊙D与y轴相切．
（1）求c的值；
（2）连接AC、BC，设∠ACB=α，求tanα；
（3）设抛物线顶点为P，判断直线PA与⊙D的位置关系，并证明．

（2004·奉贤区二模）已知抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于C（0，c）点，与x轴交于B（c，0），其中c＞0，
（1）求证：b+1+ac=0；
（2）若C与B两点距离等于2

，求c；
（3）在（2）的条件下，一元二次方程ax²+bx+c=0的两根之差的绝对值等于1，求抛物线的解析式．

（2005·东城区一模）已知二次函数y=a（x+1）²+m的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C，顶点为M，直线MC的解析式为y=kx-3，且直线MC与x轴交于点N，sin∠BCO=

．
（1）求直线MC及二次函数的解析式；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P（异于点C），使以点P、N、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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