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你能很快算出1052吗？
（1）先观察下列算式，探索规律：
152=225可写成：100×1×（1+1）+25；
252=625可写成；100×2×（2+1）+25；
352=1225可写成：100×3×（3+1）+25；
452=2025可写成：100×4×（4+1）+25；
…
752=5625可写成：100×7×（7+1）+25100×7×（7+1）+25；
852=7225可写成：100×8×（8+1）+25100×8×（8+1）+25．
（2）根据以上规律，计算1052时，先可以写成：100×10×（10+1）+25100×10×（10+1）+25，由此通过口算就能得到答案是1102511025． -
从2开始的连续偶数相加，它们和的情况如下表：
（1）根据表中的规律，直接写出2+4+6+8+10+12+14=加数的个数（n） 和 （S） 1 2=1×2 2 2+4=6=2×3 3 2+4+6=12=3×4 4 2+4+6+8=20=4×5 5 2+4+6+8+10=30=5×6 … … 5656；
（2）根据表中的规律猜想：S=2+4+6+8+…+2n=n（n+1）n（n+1）（用n的代数式表示）；
（3）利用上题中的公式计算102+104+106+…+200的值（要求写出计算过程）． -
观察下列三行数：
-1，2，-4，8，-16，32，…； ①
-2，4，-8，16，-32，64，…； ②
0，6，-6，18，-30，66，…； ③
（1）第①行数按什么规律排列？
（2）第②③行数与第①行数分别有什么关系？
（3）取每行数的第n个数，这三个数的和能否等于-1278？如果能，指出是每行的第几个数，并求出这三个数；如果不能，请说明理由． -
定义：a是不为1的有理数，我们把
称为a 的差倒数，如2的差倒数是1 1-a
=-1，-2的差倒数是1 1-2
=1 1-(-2)
，已知a1=-1 3 1 3
（1）a2是a1的差倒数，则a2=3 4 ；3 4
（2）a3是a2的差倒数，则a3=44；
（3）a4是a3的差倒数，则a4=-1 3 -；1 3
（4）以此类推a2013=44． -
请观察下列算式：
=1-1 1×2
，1 2
=1 2×3
-1 2
，1 3
=1 3×4
-1 3
，1 4
=1 4×5
-1 4 1 5
则第10个算式为1 10×11 =1 10×11
-1 10 1 11 ，
-1 10 1 11
第n个算式为1 n×(n+1) =1 n×(n+1)
-1 n 1 n+1
-1 n 1 n+1
请计算
+1 1×2
+1 2×3
+…+1 3×4
．1 2002×2003 -
甩不掉的21：
（1）观察：3×7=21，13×17=221，23×27=621，33×37=1221…，请研究其中的规律．并用代数式表示这一规律；
（2）利用你找到的规律计算①83×87；②103×107． -
观察下列各式：13=12，13+23=（1+2）2，13+23+33=（1+2+3）2，13+23+33+43=（1+2+3+4）2…
（1）用含自然数n的等式表示上述各式的规律；
（2）利用你的结论计算：203+213+223+…+303． -
将正奇数1，3，5，7，9，…按下表排成五列．则2003在哪一列？哪一行？
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观察下列各式．
13=1=
×12×22，1 4
13+23=9=
×22×32，1 4
13+23+33=36=
×32×42，1 4
…
（1）猜想填空：13+23+33+…+n3=
×1 4 nn2×（n+1）（n+1）2
（2）求13+23+33+43+53的值． -
找规律填数：-1，2，-4，8，-16-16．