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（阅读材料）如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．比如，数列a1，a2，a3，a4，a5，a6，…，an（an表示第n项），若有a2-a1=a3-a2=a4-a3=…an-an-1=d，d是个常数，则就可以说这个数列是等差数列，其中的和记为sn．由等差数列的定义可得a2=a1+d，a3=a2+d=a1+2d，a4=a3+d=a1+3d，…，an=a1+（n-1）d，所以sn=a1+a2+a3+a4+…+an=a1+a1+d+a1+2d+a1+3d+…+a1+（n-1）d=na1+[d+2d+3d+…+（n-1）d]=na1+
d，求：n(n-1) 2
（1）利用sn=na1+
d计算：3，5，7，9，11，13，…103这几个数的和．n(n-1) 2
（2）若数列a1，a2，a3，a4，a5，a6，…，an为等差数列，公差为d，记b1=a1+a2，b2=a3+a4，b3=a5+a6，b4=a7+a8，…b7=a13+a14，请问b1，b2，b3，b4，b5，b6，b7是等差数列吗？若是，请写出理由，并求出公差． -
阅读下列一段话，并解决下面的问题．
观察这样一列数：个，个，b，8，…我们发现这一列数从第个项起，每一项与它前一项的比都等于个．一般地，如果一列数从第个项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．
（个）等比数列b，-个2，2b，…的公比是-b-b；
（个）如果一列数a个，a个，a3，ab，…是等比数列，且公比为q，那么根据上述的规定，有
=q，a个 a个
=q，a3 a个
=q，…ab a3
所以，a个=a个q，a3=a个q=(a个q)q=a个q个，ab=a3q=(a个q个)q=a个q3，…an=a个qn-个a个qn-个．（用a个与q的代数式表示）
（3）一个等比数列的第个项是个8，第b项是8，求它的第3项． -
在很小的时候，我们就用手指练习过数数．一个小朋友按如图所示的规则练习数数（各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指）．
（1）数字“25”落在哪个手指上？
（2）请用字母n（n≥1，且n为整数）分别表示大拇指、中指和小指上数字的排列规律．
（3）数字“2011”、“2012”分别落在哪两个手指上？请写出理由． -
探索研究
（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是22；根据此规律，如果an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18=218218，an=2n2n；
（2）如果欲求1+3+32+33+…+320的值，可令S=1+3+32+33+…+320①
将①式两边同乘以3，得3s=3+32+33+34+…+3213s=3+32+33+34+…+321②
由②减去①式，得S=
（321-1）1 2 ．
（321-1）1 2
（3）用由特殊到一般的方法知：若数列a1，a2，a3，…，an，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，则an=an=a1qn-1an=a1qn-1（用含a1，q，n的代数式表示），如果这个常数q≠1，那么a1+a2+a3+…+an=a1(qn-1) q-1 （用含a1，q，n的代数式表示）．a1(qn-1) q-1 -
如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．
第一排 1
第二排 2 3
第三排 4 5 6
第五排 7 8 9 10
第六排 11 12 13 14 15
…
（1）表中第9行第2个数字是3838；
（2）求第12行所有数字之和？
（3）求第n行的第一个数字和最后一个数字．（用含有“n”的式子表示） -
观察下列算式：
1=1=12
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
…
按规律填空：（1）1+3+5+7+9=5252；（2）1+3+5+…+2005=1003210032． -
观察下列各式：
12+1=1×2
22+2=2×3
32+3=3×4
…
请你将猜想到的规律用自然数n（n≥1）表示出来n2+n=n（n+1）n2+n=n（n+1）． -
把自然数按上小下大、左小右大下原则排成如图下三角形数表（每行比上一行多一个数）．设aij（i、j∈N+）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数下第j个数（如a42=8）．
（1）若aij=2下1下，求i、j下值．
（2）记三角形数表从上往下数第n行各数下和为bn，令cn=
．若数列{cn}下前n项和为Tn，求Tn．1，n=1
，n≥2n bn-n -
n个数围成一圈，每次操作把其中某一个数换成这个数依次加上相邻的两个数后所得的和，或者换成这个数依次减去与它相邻的两个数后所得的差．例如：
（1）能否通过若干次操作完成图中的变换？请说明理由．
（2）能否通过若干次操作完成图中的变换请说明理由．
（3）能否通过若干次操作完成图中的变换？请说明理由．
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观察以下一系列等式：
①1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）2；
②2×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）2；
③3×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）2；
④4×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）24×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2；…
（1）请你写出第④个等式；
（2）请用字母表示上面所发现的规律：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3n+1）2n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3n+1）2；
（3）利用你学过的方法，证明你所发现的规律．