观察以下一系列等式：①1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）2；②2×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）2；③3×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）2；-青果题库-青果学院

题目：

观察以下一系列等式：
①1×2×3×4+1=5²=（1²+3×1+1）²；
②2×3×4×5+1=11²=（2²+3×2+1）²；
③3×4×5×6+1=19²=（3²+3×3+1）²；
④

4×5×6×7+1=29²=（4²+3×4+1）²

；…
（1）请你写出第④个等式；
（2）请用字母表示上面所发现的规律：

n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3n+1）²

；
（3）利用你学过的方法，证明你所发现的规律．

答案

4×5×6×7+1=29²=（4²+3×4+1）²

n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3n+1）²

解：（1）4×5×6×7+1=29²=（4²+3×4+1）²；
（2）n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3n+1）²；
（3）证明：左边=[n（n+3）][（n+1）（n+2）]+1
=（n²+3n）（n²+3n+2）+1
=n⁴+6n³+11n²+6n+1；
右边=[（n²+3n）+1]²=n⁴+6n³+11n²+6n+1，
∴左边=右边．
故答案为：（1）4×5×6×7+1=29²=（4²+3×4+1）²；（2）n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3n+1）²

考点梳理

整式的混合运算；规律型：数字的变化类．

试题