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（2007·巴中）在学习勾股定理时，我们学会运用图（I）验证它的正确性；图中大正方形的面积可表示为：
（a+b）2，也可表示为：c2+4·（
ab），1 2
即（a+b）2=c2+4·（
ab）由此推出勾股定理a2+b2=c2，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．1 2 
（1）请你用图（II）（2002年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；
（2）请你用（III）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证（x+y）2=x2+2xy+y2；
（3）请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：（x+p）（x+q）=x2+px+qx+pq=x2+（p+q）x+pq． -
（2004·济南）如图（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．图（2）是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图，指出它是什么图形；
（2）用这个图形证明勾股定理；
（3）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形
拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请在图（3）中画出拼后的示意图（无需证明）．
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如图是美国总统Garfield于1876年给出的一种验证勾股定理的办法．
（1）说一说，图中的△CDE可以由△ABC通过怎样的变换得到；
（2）你能利用这个图形验证勾股定理吗？ -
勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理．这个定理的证明的方法很多，也能解决许多数学问题．请按要求作答：
（1）用语言叙述勾股定理；
（2）选择图1、图2、图3中一个图形来验证勾股定理；
（3）利用勾股定理来解决下列问题：
如图4，一个长方体的长为8，宽为3，高为5．在长方体的底面上一点A处有一只蚂蚁，它想吃长方体上与A点相对的B点处的食物，则蚂蚁需要沿长方体表面爬行的最短路程是多少？
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如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即
ab×4+(b-a)2，从而得到等式c2=1 2
ab×4+(b-a)2，化简便得结论a2+b2=c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题1 2
（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=3，BC=4，求CD的长度．
（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6，设BD=x，求x的值．
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如图所示，是两个相同的直角三角形拼成的梯形ABCD，直角三角形的三边长分别是a、b、c．
（1）求所拼成的梯形的面积；
（2）换一种思路求梯形的面积，并说明a、b、c存在数量关系：a2+b2=c2． -
大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB=AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2．
（1）请你结合图形来证明：h1+h2=h；
（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；
（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l1：y=
x+3，l2：y=-3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是3 4
．求点M的坐标．3 2 
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如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别是a，b，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形，并利用此图形证明勾股定理．
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2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标图案如图所示．
（1）它可以看作由四个边长为a、b、c的直角三角形拼成，请从面积关系出发，写出一个a、b、c的等式．（要有过程）
（2）请用四个边长为a、b、c的直角三角形拼出另一个图形验证（1）中所写的等式，并写出验证过程．
（3）如果a+b=7，ab=12，求c的值． -
如图，是4个完全相同的直角三角形适当拼接后形成的图形，这些直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c．你能利用这个图形验证勾股定理吗？