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（1）我们平常用的数是十进制数，如2639=2×103+6×102+3×10+9，表示十进制的数要用10个数的数码（又叫数字）：0，1，2，3，…9，在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如二进制中101=1×22+0×21+1等于十进制的数5，那么二进制中的1101等于十进制的数1313．
（2）探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大．吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”．满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它吸进去，无一能逃脱它的魔掌，譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方．再相加．得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和…．重复运算下去，就能得到一个固定的数T=153153，我们称之为数字“黑洞”． -
根据规律填代数式，
1+2=
；1+2+3=2×(2+1) 2
；1+2+3+4=3×(3+1) 2
；1+2+3+…+n=4×(4+1) 2 n(n+1) 2 ．n(n+1) 2 -
（2012·益阳）观察图形，解答问题：
（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：
（2）请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x．图① 图② 图③ 三个角上三个数的积 1×（-1）×2=-2 （-3）×（-4）×（-5）=-60 三个角上三个数的和 1+（-1）+2=2 （-3）+（-4）+（-5）=-12 积与和的商 -2÷2=-1， -
（2011·揭阳）如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．
（1）表中第8行的最后一个数是6464，它是自然数88的平方，第8行共有1515个数；
（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是n2-2n+2n2-2n+2，最后一个数是n2n2，第n行共有（2n-1）（2n-1）个数；
（3）求第n行各数之和． -
（2010·济宁）观察下面的变形规律：
=1-1 1×2
；1 2
=1 2×3
-1 2
；1 3
=1 3×4
-1 3
；…1 4
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想
=1 n(n+1)
-1 n 1 n+1 ；
-1 n 1 n+1
（2）证明你猜想的结论；
（3）求和：
+1 1×2
+1 2×3
+…+1 3×4
．1 2009×2010 -
（2004·青海）有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，第n个数记为an．若a1=-
，从第二个数起，每个数都等于“1”与它前面的那个数的差的倒数．1 2
（1）试计算a2=2 3 ，a3=2 3 33，a4=-1 2 -；1 2
（2）根据以上结果请你写出a2004=33，a2006=2 3 ．2 3 -
（2004·河北）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；
（2）根据上面算式的规律，请计算：1+3+5…+199=10021002．
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（2012·黔西南州模拟）观察下列等式（等式中的“！”是一种阶乘符号）：
1！=1；2！=2×1；3！=3×2×1；4！=4×3×2×1；…，计算：
=2012! 2011! 20122012． -
（2012·金平区模拟）研究下列算式，你会发现有什么规律？
①13=12
②13+23=32
③13+23+33=62
④13+23+33+43=102
⑤13+23+33+43+53=152…
（1）根据以上算式的规律，请你写出第⑥个算式；
（2）用含n（n为正整数）的式子表示第n个算式；
（3）请用上述规律计算：73+83+93+…+203． -
（2007·江西模拟）如图，是由5×5个边长相同的小正方形组成的方格图，每个小正方形中都填了一个正整数．
（1）观察方格图中正整数的排列特征，请写出其中两条；
（2）用两种不同的方法求表格中所有数字之和．