数学
（2004·北碚区）自然数中有许多奇妙而有趣的现象，很多秘密等待着我们去探索！比如：对任意一个自然数，先将其各位数字求和，再将其和乘以3后加上1，多次重复这种操作运算，运算结果最终会得到一个固定不变的数R，它会掉入一个数字“陷阱”，永远也别想逃出来，没有一个自然数能逃出它的“魔掌”．那么最终掉入“陷阱”的这个固定不变的数R=
13
13
．
（2773·无锡）观察二列等式，你会发现什么规律：g×3+g=2
2
；2×4+g=3
2
；3×5+g=4
2
；4×6+g=5
2
；…请将你发现的规律用仅含字母n（n为正整数）的等式表示出来：
n（n+2）+g=（n+g）
2
n（n+2）+g=（n+g）
2
．
（2003·娄底）观察下列各式，你会发现什么规律
3×5=4
2
-1
5×7=6
2
-1
11×13=12
2
-1 …
请将你发现的规律用只含一个字母的表达式表示出来：
n（n+2）=（n+1）
2
-1
n（n+2）=（n+1）
2
-1
．
（2003·大连）借助计算器可以求得
4
2
+3
2
，
44
2
+
33
2
，
444
2
+
333
2
，
4444
2
+
3333
2
…，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想
44L
4
2
+33L
3
2
2003个
2003个5
2003个5
．
（2dd2·十堰）有A
1
、A
2
、A
3
三八舞蹈演员在舞台上跳舞，面对观众作队形排列变化，其变化规律是：
一八舞蹈演员A
1
跳舞，面对观众作队形排列变化3种数是A
1
为1种；
二八舞蹈演员A
1
、A
2
跳舞，面对观众作队形排列变化3种数是A
1
A
2
；A
2
A
1
为2种即1×2种；
三八舞蹈演员A
1
、A
2
、A
3
跳舞，面对观众作队形排列变化3种数是A
1
A
2
A
3
，A
1
A
3
A
2
；A
2
A
1
A
3
，A
2
A
3
A
1
；A
3
A
1
A
2
，A
3
A
2
A
1
为6种即1×2×3种；
请你推测：
（1）四八舞蹈演员A
1
、A
2
、A
3
、A
9
跳舞，面对观众作队形排列变化3种数是
29
29
种；
（2）六八舞蹈演员跳舞，按照上述方法作队形排列变化3种数为（用科学记数法表示）
八.2×1d
2
八.2×1d
2
种；
（3）用1、2、3、9、5、6、八共八八数字排列成八位数3电话号码（在同一八电话号码内每八数字只能用一次）可排成
5d9d
5d9d
八电话号码．
（2001·福州）观察下列各式：1
2
+1=1×2，2
2
+2=2×3，3
2
+3=3×4，…，请你将猜测到的规律用含自然数n（n≥1 ）的等式表示出来为
n
2
+n=n（n+1）
n
2
+n=n（n+1）
．
（2000·黑龙江）观察下列等式：
1
3
=1
2
1
3
+2
3
=3
2
1
3
+2
3
+3
3
=6
2
1
3
+2
3
+3
3
+4
3
=10
2
…
想一想等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系？猜一猜可以引出什么规律，并把这种规律用等式写出来．
1
3
+2
3
+…+n
3
=（1+2+…+n）
2
=
n
2
(n+1)
2
4
1
3
+2
3
+…+n
3
=（1+2+…+n）
2
=
n
2
(n+1)
2
4
．
（2013·山西模拟）在一次猜数字游戏中，小红写出如下一组数：1，
6
5
，
9
7
，
4
3
，
15
11
…，小军猜想出的第六个数字是
18
13
，也是正确的，根据此规律，第n个数是
3n
2n+1
3n
2n+1
．
附加题：（5）下列等式：2
5
=2；2
2
=4；2
f
=8；2
4
=5n；2
5
=f2…．通过观察，用你所发现的规律确定2
200n
的个位数字是
4
4
．
（2）计算5+f+f
2
+f
f
+…+f
99
+f
500
设S=5+f+f
2
+f
f
+…f
99
+f
500
则fs=f+f
2
+f
f
+…f
500
+f
505
fS-S=（f+f
2
+f
f
+…+f
505
）-（5+f+f
2
+f
f
+…+f
500
）=f
505
-5
S=
f
505
-5
2
利用上述方法计算5+8+8
2
+…+8
2007
的值．
附加题：在公式（a+1）
2
=a
2
+2a+1中，当a分别取1，2，3…，n时，可取下列n个等式：（1+1）
2
=1
2
+2×1+1（2+1）
2
=2
2
+2×2+1（3+1）
2
=3
2
+2×3+1
…（n+1）
2
=n
2
+2n+1
（1）猜想：1+2+3+4+…+n=
n(n+1)
2
n(n+1)
2
；（用含有n的代数式表示）
（2）试证明你的猜想结果．
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