试题
题目：
附加题：在公式（a+1）
2
=a
2
+2a+1中，当a分别取1，2，3…，n时，可取下列n个等式：（1+1）
2
=1
2
+2×1+1（2+1）
2
=2
2
+2×2+1（3+1）
2
=3
2
+2×3+1
…（n+1）
2
=n
2
+2n+1
（1）猜想：1+2+3+4+…+n=
n(n+1)
2
n(n+1)
2
；（用含有n的代数式表示）
（2）试证明你的猜想结果．
答案
n(n+1)
2
解：（1）猜想：1+2+3+4+…+n=
n(n+1)
2
．
（2）证明：
（1+1）
2
=1
2
+2×1+1
（2+1）
2
=2
2
+2×2+1
（3+1）
2
=3
2
+2×3+1
…（n+1）
2
=n
2
+2n+1
等式左边的和等于右边的和：2
2
+3
2
+4
2
+…n
2
+（n+1）
2
=1
2
+2
2
+3
2
+…n
2
+2（1+2+3+…+n）+n
化简得：（n+1）
2
=1+2（1+2+…+n）+n则1+2+3+…+n=
n(n+1)
2
．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
规律型：数字的变化类．
列出从1到n+1的平方公式的展开式，然后令等式两边向加，对于等式的右边中间项为2（1+2+3+…+n），把此项当成未知项，求解方程即可得到（1+2+3+…+n）的表达式．
本题关键在于从题干信息中找到1+2+…+n，要想得到此项则可让1到n+1的平方公式等号左右两边的数分别相加．然后化简即可得到1+2+…+n的表达式．
证明题；规律型．
找相似题
观察下面的几个算式：
13×17=221可写成100×1×（1+1）+21；
23×27=621可写成100×2×（2+1）+21；
33×37=1221可写成100×3×（3+1）+21；
43×47=2021可写成100×4×（4+1）+21；
…
根据上面规律填空：
（1）83×87可写成
100×8×（8+1）+21
100×8×（8+1）+21
．
（2）（10n+3）（10n+7）可写成
100n（n+1）+21
100n（n+1）+21
．
（3）计算：1993×1997=
3980021
3980021
．
张老师设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
输入
数据
1
2
3
4
…
输出
数据
1
2
1
4
1
8
1
16
…
那么，当输入数据是6时，输出的数据是
1
64
1
64
．
一组按规律排列的数：
9
5
，
16
12
，
25
21
，
36
32
，…请推断第n个数是
(n+2
)
2
n
2
+4n
(n+2
)
2
n
2
+4n
．
观察下列各式：①4=2
2
；②4+12=4
2
；③4+12+20=6
2
；④4+12+20+28=8
2
；…则第n个等式为
4+12+20+28+36+…+（2n-1）×4=（2n）
2
4+12+20+28+36+…+（2n-1）×4=（2n）
2
．
观察下列：1×3=3而3=2
2
-1，3×5=15而15=4
2
-1，5×7=35而35=6
2
-1，…，11×13=143而143=12
2
-1．你猜想到的规律用只含一个字母n的式子表示出来是
n（n+2）=（n+1）
2
-1
n（n+2）=（n+1）
2
-1
．