-
观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：1，-
，u 4
，-5 9
，7 16 9 25 …，则第小个数是9 25 （-1）小+12小-1 小2 （-1）小+1．2小-1 小2 -
下列是有规律排列的一列数：-
，1 2
，-1 4
，1 8
，-1 16
，…，请观察此数列的规律，按此规律，第n个数应是1 32 （-
）n1 2 （-．
）n1 2 -
定义：a是不为1的有理数，我们把
称为a 的差倒数，如2的差倒数是1 1-a
=-1，-2的差倒数是1 1-2
=1 1-(-2)
，已知a1=-1 3 1 3
（1）a2是a1的差倒数，则a2=3 4 ；3 4
（2）a3是a2的差倒数，则a3=44；
（3）a4是a3的差倒数，则a4=-1 3 -；1 3
（4）以此类推a2013=44． -
（1）观察一列数a1=3，a2=9，a3=27，a4=81，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是33；根据此规律，如果an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a6=3636，an=3n3n；（可用幂的形式表示）
（2）如果想要求1+2+22+23+…+210的值，可令S10=1+2+22+23+…+210①将①式两边同乘以2，得2S10=2+22+23+…+210+2112S10=2+22+23+…+210+211②，由②减去①式，得S10=211-1211-1．
（3）若（1）中数列共有20项，设S20=3+9+27+81+…+a20，请利用上述规律和方法计算S20的值．
（4）设一列数1，
，1 2
，1 4
，…，1 8
的和为Sn，则Sn的值为1 2n-1 2-1 2n-1 2-．1 2n-1 -
将连续的奇数1，3，5，7，9…，排成如下的数表：
（1）计算十字框中的五个数的平均数，它与中间的数15有什么关系？
（2）请将十字框上下左右适当平移，使它框住另外的五个数，画出图形并进行计算，上边的关系还成立吗？
（3）象这样框住的五个数之和能否等于305？请说明理由． -
你能很快算出1052吗？
（1）先观察下列算式，探索规律：
152=225可写成：100×1×（1+1）+25；
252=625可写成；100×2×（2+1）+25；
352=1225可写成：100×3×（3+1）+25；
452=2025可写成：100×4×（4+1）+25；
…
752=5625可写成：100×7×（7+1）+25100×7×（7+1）+25；
852=7225可写成：100×8×（8+1）+25100×8×（8+1）+25．
（2）根据以上规律，计算1052时，先可以写成：100×10×（10+1）+25100×10×（10+1）+25，由此通过口算就能得到答案是1102511025． -
给定下面一列分式：
，-x y2
，x3 y3
，-x5 y4
，…（其中x≠0）x7 y5
（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？
（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第七个分式． -
探究题：
数学问题：各边长都是整数，最大边长为21的三角形有多少个？
为解决上面的数学问题，我们先研究下面的数学模型：
数学模型：在1～21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有多少种不同取法？
为找到解决问题的方法，我们把上面数学模型简单化．
（1）在1～4这4个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于4，有多少种取法？
根据题意，有下列取法：1+4，2+3，2+4，3+2，3+4，4+1，4+2，4+3，而1+4与4+1，2+3与3+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有
=4=1+2+2+3 2
种不同的取法．42 4
（2）在1～5这5个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于5，有多少种取法？
根据题意，有下列取法：1+5，2+4，2+5，3+4，3+5，4+2，4+3，4+5，5+1，5+2，5+3，5+4，而1+5与5+1，2+4与4+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有
=6=1+2+2+3+4 2
种不同的取法．52-1 4
（3）在1～6这6个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于6，有多少种不同的取法？
根据题意，有下列取法：1+6，2+5，2+6，3+4，3+5，3+6，4+3，4+5，4+6，5+2，5+3，5+4，5+6，6+1，6+2，6+3，6+4，6+5，而1+6与6+1，2+5与5+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有
=9=1+2+3+3+4+5 2
种不同的取法．62 4
（4）在1～7这7个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于7，有多少种取法？
根据题意，有下列取法：1+7，2+6，2+7，3+5，3+6，3+7，4+5，4+6，4+7，5+3，5+4，5+6，5+7，6+2，6+3，6+4，6+5，6+7，7+1，7+2，7+3，7+4，7+5，7+6，而1+7与7+1，2+6与6+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有
=12=1+2+3+3+4+5+6 2
种不同的取法…72-1 4
问题解决
仿照上述研究问题的方法，解决上述数学模型和提出的问题
（1）在1～21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，共有110110种不同取法；（只填结果）
（2）在1～n（n为偶数）这n个自然数中，每次取两个数，使得所取的两个数字之和大于n，共有n2 4 种不同取法；（只填最简算式）n2 4
（3）在1～n（n为奇数）这n个自然数中，每次取两个数，使得所取的两个数之和大于n，共有n2-1 4 种不同取法；（只填最简算式）n2-1 4
（4）各边长都是整数且不相等，最大边长为21的三角形有多少个？（写出最简算式和结果，不写分析过程） -
（1）填空：
=4-1 1 ss；
=9-1 2 44；
=16-1 s nn；
=2n-1 4 66；…；
（2）观察上面的等式，你发现了什么规律？用含n（n是正整数）的等式表示你发现的规律；
（s）证明你发现的规律． -
如图，一个数表有7行7列，设aij表示第i行第j列上的数（其中i=1，2，3，…，7，j=1，2，3，…，7）．例如：第5行第3列上的数a53=7．则
（1）（a23-a22）+（a52-a53）=00；
（2）此数表中的四个数anp，ank，amp，amk满足（anp-ank）+（amk-amp）=00．