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如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为
的长方形，接着又把一个面积为1 2
的长方形等分成两个面积为1 2
的正方形，再把其中的一个正方形等分成两个面积为1 4
的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算：1 8
+1 2
+1 4
+1 8
+1 16
+1 32
+1 64
+1 128
．1 256 -
树的高度与树生长的年数有关，测得某棵树的有关数据如下表（树苗原高105厘米）：
①第4年树苗可能达到的高度为年数a 高度h（单位：厘米） 1 120 2 135 3 150 4 … … 165165厘米
②请用含a的代数式表示高度h为105+15a105+15a
③根据这种长势，求20年后这棵树可能达到的高度． -
探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=19=42
1+3+5+7+9=25=52
（1）请猜想1+3+5+7+9+…+19=102102；
（2）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n+3）=（n+2）2（n+2）2；
（3）请用上述规律计算：103+105+107+…+2007+2009． -
观察下列各式：2×5，-4×52，6×53，-8×54，10×55，-12×56…，找出规律．
（1）写出第n个式子．
（2）写出第2000个式子． -
定义：a是不为1的有理数，我们把
称为a的差倒数，如：2的差倒数是1 1-a
=-1，-1的差倒数是1 1-2
=1 1-(-1)
． 已知a1=-1 2
，a2是a1差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推．1 3
（1）求a2、a3、a4的值．
（2）求a2011的值． -
根据下列等式，你能发现什么规律，根据你发现的规律完成下面的填空：
1×3+1=22
2×4+1=32
3×5+1=42
4×6+1=52
第n个等式为n（n+2）+1=（n+1）2n（n+2）+1=（n+1）2．（用含有n的式子表示） -
数学家高斯在上学时曾经研究过这样一个问题，1+2+3+…+10=？
经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=
n（n+1），其中n为正整数，现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）=？1 2
观察下面三个特殊的等式：
1×2=n（1×2×3-0×1×2）
2×3=x（2×3×4-1×2×3）
3×4=n（3×4×5-2×3×4）
将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=m×3×4×5=20．
读完这段材料，请你计算：
（1）1×2+2×3+…+100×101=343400343400；（直接写出结果）
（2）1×2+2×3+…+n（n+1）；（写出计算过程）
（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=
n（n+1）（n+2）（n+3）1 4 ．
n（n+1）（n+2）（n+3）1 4 -
探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，并解答问题．
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52
（1）试猜想1+3+5+7+9+…+19=100100；
（2）试猜想1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n+3）=（n+2）2（n+2）2；
（3）请用上述规律计算：1001+1003+1005+…+2009+2011（请算出最后数值哦！） - 观察：2=1×2，2+4=2×3，2+4+6=3×4，…，试推算2+4+6+…+2n的公式，并利用推算公式计算100+102+…+200．
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观察思考题
观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；
（2）根据上面算式的规律，请计算：1+3+5…+199=10021002；
（3）请你用代数式表示出上面规律的式子：1+3+5+7+…+（2n-1）=n21+3+5+7+…+（2n-1）=n2．