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数学课上，张老师出示了问题：如图：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB⊥BF，点P为BC上任意一点，且AP⊥PF，请问：AP与PF相等吗？请说明理由．
如果把“点P是边BC上任意一点”改为“点P是边CB上（除B，C外）延长线上的任意一点”，其它条件不变，那么结论还成立吗？如果正确，请画出图形，写出证明过程． -
操作：在△ABC中，AC=BC=4
，∠C=90°．将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕P点旋转，三角板自两直角边分别交射线AC、射线CB于D、E两点，如右图，①、②、③是旋转三角板得到的图形中的其中三种．2 
探究：（1）三角板绕P点旋转时，观察线段PD与PE之间有什么大小关系？它们的关系表示为PD=PEPD=PE并以图②为例，加以证明；
（2）三角板绕P点旋转时△PBE是否能成为等腰三角形，若能，指出所有的情况（即求出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由． -
如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．D为线段AC上任一点，连接BD，过C点作CE∥AB且AD=CE，试说明BD和AE之间的关系，并证明．
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将两块斜边长相等的等腰直角三角形按如图A摆放，斜边AB分别交CD、CE于M、N点，
（1）如果把图A中的△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，连接FM，如图B，求证：△CMF≌△CMN：
（2）将△CED绕点C旋转：
①当点M、N在AB上（不与A、B重合）时，线段AM、MN、NB之间有一个不变的关系式，请你写出这个关系式，并说明理由；
②当点M在AB上，点N在AB的延长线上（如图C）时，①中的关系式是否仍然成立？请说明理由．
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如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠DEC=90°．
（1）△CDE是什么三角形？请说明理由；
（2）若AD=6，AB=14，请求出BC的长． -
如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=105°点D是△ABC外一点，连接DO，DA，DC，OC=OD，∠COD=60°，
（1）求证：△BOC≌△ADC；
（2）当∠BOC=150°试判断△AOD的形状，并说明理由． -
如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，O为AB的中点，点D为AB边上任意一点，以D为顶点作等腰直角三角形DEF，斜边EF经过点O，且使EO=OF，连结CF、BF、CD，很明显点C、F、O在同一条直线上
（1）请写出线段BF与CD的数量、位置关系，并证明；
（2）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图②，线段BF的延长线与CD相交于G点，求出∠OGD的度数45°45°．
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已知四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=2∠C=2α，点E在AD上，点F在DC上．
（1）如图1，若α=45°，∠BDC的度数为90°90°；
（2）如图2，当α=45°，∠BEF=90°时，求证：EB=EF；
（3）如图3，若α=30°，则当∠BEF=120°120°时，使得EB=EF成立？（请直接写出结果）
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如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE、DF、EF．
（1）求证：△ADF≌△CEF；
（2）试证明△DFE是等腰直角三角形． -
如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：AD2+AE2=DE2．