数学

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已知：函数y=-

x²+x+a的图象的最高点在x轴上．
（1）求a；
（2）如图所示，设二次函数y=-

x²+x+a图象与y轴的交点为A，顶点为B，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；
（3）在（2）中，若圆与x轴另一交点C关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=-

x²+x+a上？若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．

附加题
对于二次函数y=-x²+8x-6和一次函数y=3x-4，把y=t（-x²+8x-6）+（2-3t）（3x-4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线C．现有点A（2，4）和抛物线C上的点B（-3，n），请完成下列任务：
【尝试】
（1）判断点A是否在抛物线C上；
（2）求n的值
【发现】
通过（1）和（2）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线C总过固定的两点，则这两点的坐标分别是

（2，4），（-3，-26）

（2，4），（-3，-26）

．
【应用】
二次函数y=4x²-6x+9是二次函数y=-x²+8x-6和一次函数y=3x-4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．

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已知二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，若点A的坐标是（1，0），点B在点A的右侧．
（1）c=

；
（2）求a的取值范围；
（3）若过点C且平行于x轴的直线交该抛物线于另一点D，AD、BC交于点P，记△PCD的面积为S₁，△PAB的面积为S₂，求S₁-S₂的值．

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如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半⊙O′与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是半⊙O′的切线，AD⊥CD于点D．
（1）求证：∠CAD=∠CAB；
（2）已知抛物线y=ax²+bx+c过A、B、C三点，AB=10，tan∠CAD=

．
①求抛物线的解析式；
②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；
③在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形？若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．

如图1、2，已知抛物线y=ax²+bx+3经过点B（-1，0）、C（3，0），交y轴于点A．

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（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，若M（0，1），过点A的直线与x轴交于点D（4，0）．直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合，∠FEH=90°，EF∥HG，EF=EH=1．直角梯形EFGH从点D开始，沿射线DA方向匀速运动，运动的速度为1个长度单位/秒，在运动过程中腰FG与直线AD始终重合，设运动时间为t秒．当t为何值时，以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形；
（3）如图2，抛物线顶点为K，KI⊥x轴于I点，一块三角板直角顶点P在线段KI上滑动，且一直角边过A点，另一直角边与x轴交于Q（m，0），请求出实数m的变化范围，并说明理由．

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在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C₁：y₁=-x²+2x．
（1）将抛物线C₁先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线C₂，求抛物线C₂的顶点P的坐标及它的解析式．
（2）如果x轴上有一动点M，那么在两条抛物线C₁、C₂上是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形（OP为一边）？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）已知有一条抛物线的形状（开口方向和开口大小）与抛物线y=2x²相同，它的对称轴是直线x=-2；且当x=1时，y=6，求这条抛物线的解析式．
（2）定义：如果点P（t，t）在抛物线上，则点P叫做这条抛物线的不动点．
①求出（1）中所求抛物线的所有不动点的坐标；
②当a、b、c满足什么关系式时，抛物线y=ax²+bx+c上一定存在不动点．

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如图，抛物线y=ax2-

x-2(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知点B坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△ABC的形状，说出△ABC外接圆的圆心位置，并求出圆心的坐标．

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如图，将一个小球从斜坡OA的O点处抛出，落在斜坡的A点处．小球的抛出路线是抛物线的一段，它的对称轴l分别与OA，x轴相交于点B，C，顶点P的横坐标是4．斜坡OA的坡角为α，tanα=

．
（1）求点A的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）N，N′是抛物线上两点，它们关于对称轴l对称，若过P，N，N′三点的⊙M与射线OA相切，求⊙M的半径．

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已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y1=ax2+bx过点A（6，0）和点B（3，

）．
（1）求抛物线y₁的解析式；
（2）将抛物线y₁沿x轴翻折得抛物线y₂，求抛物线y₂的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线y₂上是否存在点M，使△OAM与△AOB相似？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．

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