试题

如图，将一个小球从斜坡OA的O点处抛出，落在斜坡的A点处．小球的抛出路线是抛物线的一段，它的对称轴l分别与OA，x轴相交于点B，C，顶点P的横坐标是4．斜坡OA的坡角为α，tanα=

1

2

，OA=

7 5

2

．
（1）求点A的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）N，N′是抛物线上两点，它们关于对称轴l对称，若过P，N，N′三点的⊙M与射线OA相切，求⊙M的半径．

解：（1）作AD⊥x轴于D．
∵tanα=

1

2

，
∴可设AD=m，则OD=2m．          
根据勾股定理，DO²+AD²=AO²，
得m2+(2m)2=(

7 5

2

)2．
解，得m=±

7

2

，负值舍去，m=

7

2

．
∴点A的坐标是（7，

7

2

）；
         
（2）设抛物线的解析式是y=a（x-4）²+b．
将（0，0）和（7，

7

2

）代入上式，得：

0=a(0-4)2+b 7 2 =a(7-4)2+b

．           
解得：

a=- 1 2 b=8

，
∴抛物线的解析式是：
y=-

1

2

(x-4)2+8，
=-

1

2

x2+4x．

（3）∵N、N′关于对称轴l对称，
∴圆心M在对称轴l上，
作ME⊥AO于E，
∵⊙M与射线AO相切，
∴MP=ME，
设⊙M半径为r，
则MP=ME=r，
∵CO=4，tanα=

1

2

，
∴BC=COtanα=4×

1

2

=2，
∴BO=

42+22

=2

5

，
∵PC=8，BC=2，
∴MB=PC-BC-MP=8-2-r=6-r，
∵△COB∽△EMB，
∴

ME

CO

=

MB

BO

，
∴

r

4

=

6-r

2 5

． 
∴r=12

5

-24．
解：（1）作AD⊥x轴于D．
∵tanα=

1

2

，
∴可设AD=m，则OD=2m．          
根据勾股定理，DO²+AD²=AO²，
得m2+(2m)2=(

7 5

2

)2．
解，得m=±

7

2

，负值舍去，m=

7

2

．
∴点A的坐标是（7，

7

2

）；
         
（2）设抛物线的解析式是y=a（x-4）²+b．
将（0，0）和（7，

7

2

）代入上式，得：

0=a(0-4)2+b 7 2 =a(7-4)2+b

．           
解得：

a=- 1 2 b=8

，
∴抛物线的解析式是：
y=-

1

2

(x-4)2+8，
=-

1

2

x2+4x．

（3）∵N、N′关于对称轴l对称，
∴圆心M在对称轴l上，
作ME⊥AO于E，
∵⊙M与射线AO相切，
∴MP=ME，
设⊙M半径为r，
则MP=ME=r，
∵CO=4，tanα=

1

2

，
∴BC=COtanα=4×

1

2

=2，
∴BO=

42+22

=2

5

，
∵PC=8，BC=2，
∴MB=PC-BC-MP=8-2-r=6-r，
∵△COB∽△EMB，
∴

ME

CO

=

MB

BO

，
∴

r

4

=

6-r

2 5

． 
∴r=12

5

-24．