试题

如图1、2，已知抛物线y=ax²+bx+3经过点B（-1，0）、C（3，0），交y轴于点A．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，若M（0，1），过点A的直线与x轴交于点D（4，0）．直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合，∠FEH=90°，EF∥HG，EF=EH=1．直角梯形EFGH从点D开始，沿射线DA方向匀速运动，运动的速度为1个长度单位/秒，在运动过程中腰FG与直线AD始终重合，设运动时间为t秒．当t为何值时，以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形；
（3）如图2，抛物线顶点为K，KI⊥x轴于I点，一块三角板直角顶点P在线段KI上滑动，且一直角边过A点，另一直角边与x轴交于Q（m，0），请求出实数m的变化范围，并说明理由．

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3经过点B（-1，0）、C（3，0），
∴

a-b+3=0 9a+3b+3=0

，
解得

a=-1 b=2

．
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．

（2）当直角梯形EFGH运动到E′F′G′H′时，过点F′作F′N⊥x轴于点N，延长E′H’交x轴于点P．
∵点M的坐标为（0，1），点A是抛物线与y轴的交点，
∴点A的坐标为（0，3）．
∵OA=3，OD=4，
∴AD=5．
∵E′H′∥OM，E′H′=OM=1，
∴四边形E′H′OM是平行四边形（当E′H′不与y轴重合时）．
∵F′N∥y轴，N G′∥x轴，
∴△F′N D∽△AOD．
∴

F′N

AO

=

ND

OD

=

F′D

AD

．
∵直角梯形E′F′G′H′是直角梯形EFGH沿射线DA方向平移得到的，
∴F′D=t，
∴

F′N

3

=

ND

4

=

t

5

．
∴F′N=

3t

5

，ND=

4t

5

．
∵E′F′=PN=1，
∴OP=OD-PN-ND=4-1-

4t

5

=3-

4t

5

．
∵E′P=F′N=

3t

5

，E′H′=1，
∴H′P=

3t

5

-1．
若平行四边形E′H′OM是矩形，则∠MO H′=90°，此时H′G′与x轴重合．
∵F′D=t，
∴F′N=

3t

5

=1，即t=

5

3

．
即当t=

5

3

秒时，平行四边形EHOM是矩形．
若平行四边形E′H′OM是菱形，则O H′=1．
在Rt△H′OP中，OP²+H′P²=OH′²，即(3-

4t

5

)2+(

3t

5

-1)2=12
得t²-6t+9=0，解得t₁=t₂=3．
即当t=3秒时，平行四边形EHOM是菱形．
综上所述，当t=

5

3

秒时，平行四边形EHOM是矩形，当t=3秒时，平行四边形EHOM是菱形．

（3）过A作AR⊥KI于R点，则AR=KR=1．
当Q在KI左侧时，△ARP∽△PIQ．
设PI=n，则RP=3-n，
∴

1-m

3-n

=

n

1

，即n²-3n-m+1=0，
∵关于n的方程有解，△=（-3）²-4（-m+1）≥0，
得m≥-

5

4

；
当Q在KI右侧时，
Rt△APQ中，AR=RK=1，∠AKI=45°可得OQ=5．即P为点K时，
∴m≤5．
综上所述，m的变化范围为：-

5

4

≤m≤5．
解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3经过点B（-1，0）、C（3，0），
∴

a-b+3=0 9a+3b+3=0

，
解得

a=-1 b=2

．
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．

（2）当直角梯形EFGH运动到E′F′G′H′时，过点F′作F′N⊥x轴于点N，延长E′H’交x轴于点P．
∵点M的坐标为（0，1），点A是抛物线与y轴的交点，
∴点A的坐标为（0，3）．
∵OA=3，OD=4，
∴AD=5．
∵E′H′∥OM，E′H′=OM=1，
∴四边形E′H′OM是平行四边形（当E′H′不与y轴重合时）．
∵F′N∥y轴，N G′∥x轴，
∴△F′N D∽△AOD．
∴

F′N

AO

=

ND

OD

=

F′D

AD

．
∵直角梯形E′F′G′H′是直角梯形EFGH沿射线DA方向平移得到的，
∴F′D=t，
∴

F′N

3

=

ND

4

=

t

5

．
∴F′N=

3t

5

，ND=

4t

5

．
∵E′F′=PN=1，
∴OP=OD-PN-ND=4-1-

4t

5

=3-

4t

5

．
∵E′P=F′N=

3t

5

，E′H′=1，
∴H′P=

3t

5

-1．
若平行四边形E′H′OM是矩形，则∠MO H′=90°，此时H′G′与x轴重合．
∵F′D=t，
∴F′N=

3t

5

=1，即t=

5

3

．
即当t=

5

3

秒时，平行四边形EHOM是矩形．
若平行四边形E′H′OM是菱形，则O H′=1．
在Rt△H′OP中，OP²+H′P²=OH′²，即(3-

4t

5

)2+(

3t

5

-1)2=12
得t²-6t+9=0，解得t₁=t₂=3．
即当t=3秒时，平行四边形EHOM是菱形．
综上所述，当t=

5

3

秒时，平行四边形EHOM是矩形，当t=3秒时，平行四边形EHOM是菱形．

（3）过A作AR⊥KI于R点，则AR=KR=1．
当Q在KI左侧时，△ARP∽△PIQ．
设PI=n，则RP=3-n，
∴

1-m

3-n

=

n

1

，即n²-3n-m+1=0，
∵关于n的方程有解，△=（-3）²-4（-m+1）≥0，
得m≥-

5

4

；
当Q在KI右侧时，
Rt△APQ中，AR=RK=1，∠AKI=45°可得OQ=5．即P为点K时，
∴m≤5．
综上所述，m的变化范围为：-

5

4

≤m≤5．