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（2007·仙桃）如图，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接AF．
（1）求证：AD=CF；
（2）在原有条件不变的情况下，请你再添加一个条件（不再增添辅助线），使四边形AFCD成为菱形，并说明理由． -
（2007·深圳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EA⊥AD，M是AE上一点，∠BAE=∠MCE，∠MBE=45°．
（1）求证：BE=ME；
（2）若AB=7，求MC的长． -
（2007·上海）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，DE∥AC，交BC的延长线于点E，∠B=2∠E．
（1）求证：AB=DC；
（2）若tanB=2，AB=
，求边BC的长．5 - （2007·黑龙江）在数学活动课上，小明做了一梯形纸板，测得一底为10cm，高为12cm，两腰长分别为15cm和20cm，求该梯形纸板另一底的长．
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（2009·河西区一模）如图是一块梯形铁片的残余部分，量出∠A=120°，∠B=105°，AB=20cm，并且还知道原来梯
形铁片的另一底边比AB长10cm．
（1）求原来梯形铁片的∠D和∠C的度数．
（2）求原来梯形铁片的另外三条边的长度． -
（2008·平谷区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是梯形内一点，ED⊥AD，BE=DC，∠ECB=45°．
求证：∠EBC=∠EDC． -
（2007·郑州模拟）如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，E是BC的中点，AE与DC的延长线交于点F连接AC、BF．
（1）在不添加辅助线的条件下，试找出一组全等三角形，并说明全等的理由；
（2）试判定四边形ABFC是一个什么四边形？并说明你的理由． -
（2005·丰宁县模拟）（1）如图1所示，已知△ABC中，D为BC的中点，请写出图1中，面积相等的三角形：S△ABD=S△ADCS△ABD=S△ADC，理由是等底等高等底等高
（2）如图2所示，已知：平行四边形A′ABC，D为BC中点，请你在图中过D作一条线段将平行四边形A′ABC的面积平分，平分平行四边形A′ABC的方法很多，一般地过平行四边形对边中点平行四边形对边中点画直线总能将平行四边形A′ABC的面积平分．
（3）如图3所示，已知：梯形ABCA′中，AA′∥BC，D为BC中点，请你在图3中过D作一条线段将梯形的面积等分．
（4）如图4所示，某承包人要在自己梯形ABCD（AD∥BC）区域内种两种等面积的作物，并在河岸AD与公路BC间挖一条水渠EF，EF左右两侧分别种植了玉米、小麦，为了提高效益，要求EF最短．
①请你画出相应的图形．
②说明方案设计的理由．
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如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，M、N为底边BC的三等分点，连接AM，DN．
（1）求证：四边形AMND是平行四边形；
（2）连接BD、AC，AM与对角线BD交于点G，DN与对角线AC交于点H，且AC⊥BD．试判断四边形AGHD的形状，并证明你的结论． -
附加题
（1）试用一元二次方程的求根公式，探索方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根互为倒数的条件是a=ca=c；
（2）如图．边长为2的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是4
-42 4；
-42
（3）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．
①当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；
②当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？
③是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由．