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如图1，抛物线C1：y=ax2+bx+2与直线AB：y=
x+1 2
交于x轴上的一点A，和另一点B（3，n）．1 2 
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）点P是抛物线C1上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点），PM⊥AB于点M，PN∥y轴交AB于点N，在点P的运动过程中，存在某一位置，使得△PMN的周长最大，求此时P点的坐标，并求△PMN周长的最大值；
（3）如图2，将抛物线C1绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线C2，已知抛物线C2的顶点E在第四象限的抛物线C1上，且抛物线C2与抛物线C1交于点D，过D点作x轴的平行线交抛物线C2于点F，过E点作x轴的平行线交抛物线C1于点G，是否存在这样的抛物线C2，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在请说明理由． -
如图①，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=5，cosA=
．一动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OB方向匀速运动；另一动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BO方向匀速运动．两动点同时出发，当第一次相遇时即停止运动．在点P、Q运动的过程中，以PQ为一边作正方形PQMN，使正方形PQMN和△AOB在线段OB的同侧．设运动时间为t（单位：秒）．3 5 
（1）求OA和OB的长度；
（2）在点P、Q运动的过程中，设正方形PQMN和△AOB重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及相应的自变量t的取值范围；
（3）如图②，现以△AOB的直角边OB为x轴，顶点O为原点建立平面直角坐标系xOy．取OB的中点C，将过点A、C、B的抛物线记为抛物线T．
①求抛物线T的函数解析式；
②设抛物线T的顶点为点D．在点P、Q运动的过程中，设正方形PQMN的对角线PM、QN交于点E，连接DE、DN．是否存在这样的t，使得△DEN是以EN、DE为两腰或以EN、DN为两腰的等腰三角形？若存在，请求出对应的t的值；若不存在，请说明理由． -
我们通过计算发现：抛物线y=x2+2x-1的顶点（-1，-2）在抛物线y=-x2+2x+1上，同时抛物线y=-x2+2x+1的顶点（1，2）也在抛物线y=x2+2x-1上，这时我们称这两条抛物线是相关的．
（1）问：抛物线y=x2-2x-1与抛物线y=-x2-2x+1是否相关，并说明理由．
（2）如图，已知抛物线C：y=
（x+1）2-2，顶点为M．1 8
①若有一动点P的坐标为（m，2），现将抛物线C绕点P（m，2）旋转180°得到新的抛物线C′，且抛物线C与新的抛物线C′相关，求抛物线C′的解析式．
②若抛物线C′与C相关，顶点为N，现以MN为斜边作等腰直角△MNQ，问y轴上是否存在满足要求的点Q？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
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如图，已知抛物线y=ax+bx-4经过点A（-2，0），B（4，O）与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若D点坐标为（0，2），P为抛物线第三象限上一动点，连PO交BD于M点，问是否存在一点P，使
=OM OP
？若存在，求P点坐标；不存在，请说明理由．2 3
（3）G为抛物线第四象限上一点，OG交BC于F，求当GF：OF的比值最大时G点的坐标． -
已知抛物线y=ax2+bx+3，与x轴交于A（-3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系中，是否存在点D，是以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴l上存在点Q，使△ACQ为直角三角形，请求出点Q的坐标．
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如图，已知直线y=
x+2与x轴交于点A，交y轴于C．抛物线y=ax2+4ax+b经过A、C两点，抛物线交x轴于另一点B．2 5
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使△BPC的内心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点Q在抛物线上，且有△AQC和△BQC面积相等，求点Q的坐标． -
如图抛物线y=x2-（a+1）x+a交x轴于A（1，0）、B两点，交y轴于C点．
（1）若S△ABC=3，求抛物线解析式．
（2）在（1）的条件下，将直线AC绕平面内一点旋转90°交抛物线于M、N两点，（M在N左侧）若MN=AC时，求M、N坐标．
（3）若对称轴交线段BC于P，交AB于S，动点T在对称轴正半轴上运动，直线AT交BC于Q，设TS=b，且PB2=PQ·PC，求b与a之间的函数关系式． -
（2010·昆明）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、E（3，-
）三点．2 3 3
（1）求此抛物线的解析式；
（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l，且l与x轴的夹角为30°？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果可保留根号）． -
（2010·济南）如图所示，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为y=-
x+33
，抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E．3
（1）求A、B、C三个点的坐标；
（2）点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连
接AN、BM、MN．
①求证：AN=BM；
②在点P运动的过程中，四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值． -
（2010·河池）如图所示，在直角梯形OABC，CB，OA，∠OAB=90°，点O为坐标原点，点A在x半
轴上，对角线OB，AC相交于点M，OA=AB=4，OA=2CB．
（1）线段OB的长为42 4，点C的坐标为2 （2，4）（2，4）；
（2）求△OCM的面积；
（3）求过O，A，C三点的抛物线的解析式；
（4）若点E在（3）的抛物线的对称轴上，点F为该抛物线上的点，且以A，O，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标．